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Tangens (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Tangens-Funktion (abgekürzt: tan) kann direkt aus der Definition der Tangens-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Tangens-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ als Quotient der Sinus-Funktion und der Kosinus-Funktion dargestellt werden:

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

Ableitungsregel

Die Ableitung der Tangens-Funktion (abgekürzt: tan) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \tan(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \tan(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \sec^2(x) \\[0.75em] &= 1 + \tan^2(x) \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Tangens-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Tangens-Funktion sich als Quotient der Sinus-Funktion und der Kosinus-Funktion ergibt, für die bereits alle notwendigen Ableitungsregeln bekannt sind. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden folglich die Ableitungsregeln von Sinus und Kosinus sowie die Quotientenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst und umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \tan(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{\frac{d}{dx} \bigl[ \sin(x) \bigr] \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \frac{d}{dx} \bigl[ \cos(x) \bigr]}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \bigl( -\sin(x) \bigr)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \sec^2(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Einsetzen der Definition der Tangens-Funktion
(2)	Anwenden der Quotientenregel
(3)	Anwenden der Ableitungsregel der Sinus-Funktion Anwenden der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion
(4)	Zusammenfassen
(5)	Einsetzen der Identität $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ gemäß des trigonometrischen Pythagoras
(6)	Ersetzen von $\frac{1}{\cos(x)}$ durch $\sec(x)$ gemäß Definition der Sekans-Funktion

Weitere Formen der Ableitung

Ausgehend von Umformungsschritt (4) kann außerdem die folgende Form der Ableitungsregel der Tangens-Funktion erhalten werden:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \tanh(x) \Bigr] &\overset{(4)}{=} \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} 1 + {\left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)}^2 \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} 1 + \tan^2(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(5)	Aufteilen des Bruchs auf zwei Summanden.
(6)	Kürzen des ersten Summanden Anwenden von Potenzgesetz II-b auf den zweiten Summanden
(7)	Ersetzen von $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ durch $\tan(x)$ gemäß Definition der Tangens-Funktion

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Tangens-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \tan(3x)

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \tan(3x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos^2(3x)} \cdot {\Bigl[ 3x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos^2(3x)} \cdot 3 \\[0.75em] &= \frac{3}{\cos^2(3x)} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Tangens-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \tan\left( x^5 \right)

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \tan\left( x^5 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos^2\left( x^5 \right)} \cdot {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos^2\left( x^5 \right)} \cdot 5x^4 \\[0.75em] &= \frac{5x^4}{\cos^2\left( x^5 \right)} \end{align*}