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Areatangens hyperbolicus (Funktion)

Die Areatangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: artanh, atanh; manchmal auch tanh-1) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion der Tangens-hyperbolicus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet.

Definition

Bei der Areatangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: artanh, atanh; manchmal auch tanh-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Tangens-hyperbolicus-Funktion. Sie ordnet dem Tangens hyperbolicus eines Werts wieder den ursprünglichen Wert zu. (Hinweis: Da die tanh Funktion bijektiv ist, kann sie auf ihrem kompletten Definitionsbereich umgekehrt werden.)

Die Areatangens-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \lt 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\[ \artanh(x) = \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) \]

Hierbei gilt:

  • Die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $-1 \lt x \lt 1$ definiert, da die Tangens-hyperbolicus-Funktion keine Funktionswerte außerhalb des Intervalls $\bigl( 1,1 \bigr)$ annimmt.
  • Bei $\artanh(x)$ handelt es sich um einen Wert $y \in \R$ im Intervall $\bigl( -\infty, \infty \bigr)$.

Zusammengefasst: Die Areatangens-hyperbolicus-Funktion $\artanh(x)$ gibt den Wert $y$ im Intervall $\bigl( -\infty, \infty \bigr)$ an, für den der Tangens hyperbolicus den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Funktionsgraph der Areatangens-hyperbolicus-Funktion artanh(x)
Funktionsgraph der Areatangens-hyperbolicus-Funktion $\artanh(x)$

Eigenschaften

Die Areatangens-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich
  • $-1 \lt x \lt 1$
Wertebereich
  • $-\infty \lt \artanh(x) \lt \infty$
Periodizität
  • keine
Monotonie
  • streng monoton steigend
Krümmung
  • streng konkav für $x \lt 0$
  • streng konvex für $x \gt 0$
Symmetrien
  • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
  • ungerade Funktion
Asymptoten
  • senkrechte Asymptote bei $x=-1$ wegen $f(x) \rightarrow -\infty$ für $x \rightarrow -1$
  • senkrechte Asymptote bei $x=1$ wegen $f(x) \rightarrow \infty$ für $x \rightarrow 1$
Nullstellen
  • $x_0 = 0$
Sprungstellen
  • keine
Polstellen
  • $x_{1/2} = \pm 1$
Extremstellen
  • keine
Wendepunkte
  • $x_0 = 0$

Ableitung

Hauptartikel: Areatangens hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \lt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \artanh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \artanh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{1-x^2} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Areatangens hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areatangens-hyperbolicus-Funktion lautet:

\[ \int{\artanh(x)\ dx} = x \cdot \artanh(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\left( 1-x^2 \right) + \mathcal{C} \]

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Areatangens hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Areatangens-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \artanh(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{x^{2k+1}}{2k+1}} \\[0.75em] &= x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7 + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Areatangens-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Areafunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \artanh(x) &= \arsinh\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arcosh\left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) \\[0.75em] &= \arcoth\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arsech\left( \sqrt{1-x^2} \right) \\[0.75em] &= \arcsch\left( \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \right) \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.