Nachlesen
Areatangens hyperbolicus
Areatangens hyperbolicus (abgekürzt: $\artanh$, $\atanh$; manchmal auch $\tanh^{-1}$) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion von Tangens hyperbolicus.
Definition
Die Funktion $\artanh$ lässt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \lt 1$ durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \artanh(x) := \frac{1}{2} \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) \]
Hierbei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus.
Funktionsgraph
Eigenschaften
| Definitionsbereich |
|
|---|---|
| Wertebereich |
|
| Periodizität |
|
| Monotonie |
|
| Krümmung |
|
| Symmetrien |
|
| Asymptoten |
|
| Nullstellen |
|
| Sprungstellen |
|
| Polstellen |
|
| Extrema |
|
| Wendepunkte |
|
Ableitung
Die Ableitung von Areatangens hyperbolicus lautet:
\[ \Bigl[ \artanh(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \artanh(x) = \frac{1}{1-x^2} \]
Stammfunktion
Die Stammfunktion von Areatangens hyperbolicus lautet:
\[ \int{\artanh(x)\ dx} = x \cdot \artanh(x) + \frac{1}{2} \ln\left( 1-x^2 \right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \]
Reihenentwicklung
Die Reihenentwicklung von Areatangens hyperbolicus ist
\begin{align*} \artanh(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{x^{2k+1}}{2k+1}} \\[0.75em] &= x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7 + \ldots \end{align*}