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Areatangens hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Areatangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: artanh oder atanh) kann direkt aus der Definition der Areatangens-hyperbolicus-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Areatangens-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \lt 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\[ \artanh(x) = \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) \]

Ableitungsregel

Die Ableitung der Areatangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: artanh oder atanh) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \lt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \artanh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \artanh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{1-x^2} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Areatangens-hyperbolicus-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Areatangens-hyperbolicus-Funktion aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist, für die bereits alle notwendigen Ableitungsregeln bekannt sind. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden unter anderem die Ableitungsregeln der Logarithmusfunktion sowie die Quotientenregel und die Kettenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \artanh(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{d}{dx} \left[ \frac{1+x}{1-x} \right] \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{1 \cdot (1-x) - (1+x) \cdot (-1)}{{(1-x)}^2} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1 \cdot (1-x) \cdot 2}{2 \cdot (1+x) \cdot {(1-x)}^2} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{(1+x) \cdot (1-x)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{1-x^2} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Ausrechnen des Zählers des letzten Faktors
    \begin{align*} 1 \cdot (1-x) - (1+x) \cdot (-1) &= (1-x) + (1+x) \\[0.5em] &= 2 \end{align*}
  • Zusammenfassen der Brüche zu einem Bruch
(5)
  • Kürzen des Faktors $2 \cdot (1-x)$
(6)

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Areatangens-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \artanh(3x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \artanh(3x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - {(3x)}^2} \cdot {\Bigl[ 3x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - 9x^2} \cdot 3 \\[0.75em] &= \frac{3}{1 - 9x^2} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Areatangens-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \artanh\left( x^5 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \artanh\left( x^5 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - {\left(x^5\right)}^2} \cdot {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - x^{10}} \cdot 5x^4 \\[0.75em] &= \frac{5x^4}{1 - x^{10}} \end{align*}