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Tangens hyperbolicus (Funktion)

Die Tangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: tanh), manchmal auch Hyperbeltangens genannt, gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die Areatangens-hyperbolicus-Funktion.

Definition

Die Tangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: tanh) gehört zu den hyperbolischen Funktionen und kann als Quotient von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus dargestellt werden:

\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}

Für die Tangens-hyperbolicus-Funktion ergeben sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ somit die folgenden Darstellungen mithilfe der Exponentialfunktion:

\begin{align*} \tanh(x) &= \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \\[0.75em] &= \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \\[0.75em] &= 1 - \frac{2}{e^{2x} + 1} \end{align*}

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Tangens-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$-1 \lt \tanh(x) \lt 1$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	konvex für $x \leq 0$ konkav für $x \geq 0$
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\tanh(x) \rightarrow -1$ für $x \rightarrow -\infty$ $\tanh(x) \rightarrow +1$ für $x \rightarrow +\infty$
Nullstellen	$x_0=0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	Wendepunkt bei $x_0=0$

Ableitung

Hauptartikel: Tangens hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Tangens-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \tanh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \tanh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= \sech^2(x) \\[0.75em] &= 1 - \tanh^2(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Tangens hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Tangens-hyperbolicus-Funktion lautet:

\int{\tanh(x)\ dx} = \ln\bigl(\cosh(x)\bigr) + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\tanh^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \tanh^{n-1}(x) + \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\tanh^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\tanh(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \ln\bigl|\sinh(x)\bigr| + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\tanh^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\tanh^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{1}{n-1} \cdot \tanh^{-n+1}(x) + \int{\tanh^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Tangens hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Tangens-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \tanh(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{2^{2k} \cdot \left( 2^{2k} - 1 \right) \cdot B_{2n}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5 - \frac{17}{315} x^7 + \frac{62}{2835} x^9 - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Tangens-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Hyperbelfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \tanh(x) &= \frac{\sinh(x)}{\sqrt{1 + \sinh^2(x)}} \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \frac{\sqrt{\cosh^2(x) - 1}}{\cosh(x)} \\[0.75em] &= \frac{1}{\coth(x)} \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \sqrt{1 - \sech^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sgn(x)}{\sqrt{1 + \csch^2(x)}} \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.