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Tangens hyperbolicus

Tangens hyperbolicus (abgekürzt: $\tanh$) gehört zu den hyperbolischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\tanh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}

Tangens hyperbolicus lässt sich auch mithilfe der folgenden, durch Termumformung erhalten Formeln darstellen:

\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = 1 - \frac{2}{e^{2x} + 1}

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Graph der Tangens hyperbolicus Funktion $\tanh(x)$

Definitionsbereich	$-\infty < x < \infty$
Wertebereich	$-1 < \tanh(x) < 1$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	konvex für $x \leq 0$ konkav für $x \geq 0$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\tanh(x) \rightarrow -1$ für $x \rightarrow -\infty$ $\tanh(x) \rightarrow +1$ für $x \rightarrow +\infty$
Nullstellen	$x_0=0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	keine
Wendepunkte	Wendepunkt bei $x_0=0$

Die Ableitung von Tangens hyperbolicus lautet:

\Bigl[ \tanh(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)} = \sech^2(x)

Die Stammfunktion von Tangens hyperbolicus lautet:

\int{\tanh(x)\ dx} = \ln\bigl(\cosh(x)\bigr) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\tanh^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \tanh^{n-1}(x) + \int{\tanh^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\tanh(x)}\ dx} = \int{\tanh^{-1}(x)\ dx} &= \ln\bigl|\sinh(x)\bigr| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\tanh^n(x)}\ dx} = \int{\tanh^{-n}(x)\ dx} &= -\frac{1}{(n-1) \cdot \tanh^{n-1}(x)} + \int{\frac{1}{\tanh^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Tangens hyperbolicus ist

\begin{align*} \tanh(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{2^{2k} \cdot \left( 2^{2k} - 1 \right) \cdot B_{2n}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5 - \frac{17}{315} x^7 + \frac{62}{2835} x^9 - \ldots \end{align*}