Nachlesen

Erweiterte Matrix

Bei einer erweiterten Matrix handelt es sich in der linearen Algebra um eine Matrix, die dadurch entsteht, dass mehrere Matrizen aneinandergereiht werden. Dies geschieht oftmals mit der Absicht, dieselben elementaren Zeilenumformungen auf allen Matrizen parallel durchzuführen. Alternativ kann eine Matrix auch um einen oder mehrere Spaltenvektoren erweitert werden.

Definition

Erweiterung einer Matrix mit einer Matrix

Gegeben seien zwei Matrizen $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ und $B \in \mathcal{R}^{m \times p}$ über einem Ring $\mathcal{R}$, die dieselbe Anzahl an Zeilen besitzen. Bei der erweiterten Matrix $[A \mid B]$ handelt es sich um diejenige Matrix, die durch das Anhängen der Matrix $B$ an die Matrix $A$ entsteht.

\bigl[A \mid B\bigr] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} \mid & & \mid & \mid & & \mid \\[0.25em] a_1 & \cdots & a_n & b_1 & \ldots & b_p \\[0.25em] \mid & & \mid & \mid & & \mid \end{array}\right]

Darstellung einer erweiterten Matrix aus zwei Matrizen

Erweiterung einer Matrix mit einem Vektor

Gegeben seien eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ und ein Vektor $b \in \mathcal{R}^m$ über einem Ring $\mathcal{R}$, für die die Dimension des Vektors mit der Anzahl der Zeilen der Matrix übereinstimmt. Bei der erweiterten Matrix $[A \mid b]$ handelt es sich um diejenige Matrix, die durch das Anhängen des Vektors $b$ an die Matrix $A$ entsteht.

\bigl[A \mid b\bigr] = \left[\begin{array}{ccc|c} \mid & & \mid & \mid \\[0.25em] a_1 & \cdots & a_n & b \\[0.25em] \mid & & \mid & \mid \end{array}\right]

Darstellung einer erweiterten Matrix aus einer Matrix und einem Vektor

Erweiterung einer Matrix mit mehreren Vektoren

Gegeben seien eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ sowie Vektoren $b_1, \ldots, b_k \in \mathcal{R}^m$ über einem Ring $\mathcal{R}$, für die die Dimensionen der Vektoren mit der Anzahl der Zeilen der Matrix übereinstimmen. Bei der erweiterten Matrix $[A \mid b_1 \mid \ldots \mid b_k]$ handelt es sich um diejenige Matrix, die durch das Anhängen der Vektoren $b_1,\ldots,b_k$ an die Matrix $A$ entsteht.

\bigl[A \mid b_1 \mid \ldots \mid b_k\bigr] = \left[\begin{array}{ccc|c|c|c} \mid & & \mid & \mid & & \mid \\[0.25em] a_1 & \cdots & a_n & b_1 & \cdots & b_k \\[0.25em] \mid & & \mid & \mid & & \mid \end{array}\right]

Darstellung einer erweiterten Matrix aus einer Matrix und mehreren Vektoren

Anwendungen

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Hauptartikel: Lineares Gleichungssystem, Gaußsches Eliminationsverfahren , Gauß-Jordan-Algorithmus

Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit dem Gauß-Verfahren oder mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt und anschließend mithilfe elementarer Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bzw. in reduzierte Zeilenstufenform überführt. Im Anschluss kann das Ergebnis durch Rückwärtseinsetzen berechnet oder sogar direkt abgelesen werden.

Beispiel

Es soll das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus gelöst werden.

\begin{alignedat}{3} x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ = &\ 7 \\[0.5em] x_1 &\ + &\ 3x_2 &\ = &\ 9 \end{alignedat}

Im ersten Schritt wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\bigl[ A \mid b \bigr] = \left[\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 7 \\[0.25em] 1 & 3 & 9 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus in reduzierte Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rr|r|l} 1 & 2 & 7 & \\[0.25em] 1 & 3 & 9 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 7 & \text{I} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & 3 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \end{array}

Die gesuchte Lösung des Gleichungssystems kann am letzten Schritt direkt abgelesen werden.

\begin{align*} x_1 &= 3 \\[0.5em] x_2 &= 2 \end{align*}

Simultanes Lösen von linearen Gleichungssystemen

Beim Lösen mehrerer linearer Gleichungssysteme mit derselben Koeffizientenmatrix mithilfe des Gauß- oder Gauß-Jordan-Verfahrens kann die Koeffizientenmatrix um alle Ergebnisvektoren erweitert werden und anschließend die erweiterte Koeffizientenmatrix für alle LGS simultan in (reduzierte) Zeilenstufenform überführt werden. Beispiele hierfür finden sich im Artikel zum Gauß-Verfahren sowie im Artikel zum Gauß-Jordan-Algorithmus.

Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems

Hauptartikel: Rang einer Matrix

Mithilfe des Rangs der Koeffizientenmatrix $A$ und des Rangs der erweiterten Koeffizientenmatrix $[A \mid b]$ kann eine Aussage darüber getroffen werden, ob das zugehörige lineare Gleichungssystem mit $n$ Variablen keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt. Das Gleichungssystem besitzt

keine Lösung, falls der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, falls also gilt: $\rang(A) \lt \rang([A \mid b]);$
eine Lösung, falls der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt und der Anzahl der Variablen entspricht, falls also gilt: $\rang(A) = \rang([A \mid b]) = n;$
unendlich viele Lösungen, falls die Ränge der Matrizen übereinstimmen, der Rang aber kleiner als die Anzahl der Variablen ist, falls also gilt: $\rang(A) = \rang([A \mid b]) \lt n.$

Inverse Matrix

Hauptartikel: Inverse Matrix

Zum Bestimmen der inversen Matrix $A^{-1}$ wird die zu invertierende Matrix $A \in \mathcal{K}^{n \times n}$ zunächst um die Einheitsmatrix $E_n$ erweitert und die erweiterte Matrix $[A \mid E_n]$ anschließend in reduzierte Zeilenstufenform überführt. Die gesuchte Inverse kann dann direkt abgelesen oder ihre Nichtexistenz begründet werden.

\begin{array}{c} A = \left\{\left[\begin{array}{ccc|ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} & 1_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & \ldots & a_{nn} & 0_\mathcal{K} & \ldots & 1_\mathcal{K} \end{array}\right]\right\} = E_n \\[1em] \downarrow \\[1em] E_n = \left\{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} & \star & \ldots & \star \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{K} & \ldots & 1_\mathcal{K} & \star & \ldots & \star \end{array}\right]\right\} = A^{-1}. \end{array}

Schematische Darstellung des Verfahrens zur Bestimmung der inversen Matrix

Beispiel

Es soll die Inverse der folgenden Matrix $A \in \R^{2 \times 2}$ bestimmt werden.

A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\[0.25em] 1 & 3 \end{array}\right]

Im ersten Schritt wird die Matrix mit der Einheitsmatrix $E_2$ zur nachfolgenden Blockmatrix erweitert.

\bigl[A \mid E_2\bigr] = \left[\begin{array}{rr|rr} 1 & 2 & 1 & 0 \\[0.25em] 1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right]

Die erweiterte Matrix wird anschließend mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus in reduzierte Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rr|rr|l} 1 & 2 & 1 & 0 & \\[0.25em] 1 & 3 & 0 & 1 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 1 & 0 & \text{I} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & -1 & 1 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & 3 & -2 & \\[0.25em] 0 & 1 & -1 & 1 & \end{array}

Da die linke Seite der erweiterten Matrix erfolgreich in die Einheitsmatrix überführt werden konnte, kann die gesuchte inverse Matrix im letzten Schritt rechts abgelesen werden.

A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\[0.25em] -1 & 1 \end{bmatrix}