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Einheitsmatrix

Bei der Einheitsmatrix (auch Identitätsmatrix) handelt es sich um eine quadratische Matrix, für die gilt, dass alle Elemente auf der Hauptdiagonale Eins und alle anderen Elemente Null sind. Es handelt sich um das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.

Inhalt

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie ein Ring mit Eins oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Einheitsmatrix bzw. Identitätsmatrix handelt es sich um die quadratische Matrix \(E_n = I_n \in \mathcal{R}^{n \times n}\) mit

\[ E_n = \begin{bmatrix} 1_\mathcal{R} & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & 1_\mathcal{R} & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & 1_\mathcal{R} \end{bmatrix}, \]

deren Hauptdiagonalelemente dem neutralen Element \(1_\mathcal{R}\) der Multiplikation in \(\mathcal{R}\) entsprechen. Alle anderen Elemente entsprechen dem Nullelement \(0_\mathcal{R}\); es handelt sich somit um eine spezielle Diagonalmatrix.

Hinweis: Falls die Dimension keine Rolle spielt oder keine Verwechslungsgefahr besteht, wird für die Einheitsmatrix anstelle von \(E_n\) oft nur \(E\) geschrieben; und analog statt \(I_n\) nur \(I\).

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich exemplarisch um die reellen Einheitsmatrizen \(E_1\) bis \(E_4\):

\begin{align*} E_1 &= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\[1em] E_2 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\[0.25em] 0 & 1 \end{bmatrix} \\[1em] E_3 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 1 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\[1em] E_4 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 1 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}

Eigenschaften

Elemente

Die Elemente der Einheitsmatrix lassen sich mithilfe des Kronecker-Deltas angeben:

\[ \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{falls } i = j \\[0.5em] 0 & \text{falls } i \neq j. \end{cases} \]

Mit dieser Schreibweise lässt sich die $n \times n$ Einheitsmatrix $E_n$ besonders kompakt ausdrücken:

\[ E_n = {\Bigl[ \delta_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}. \]

Die kanonischen Einheitsvektoren $e_1,\ldots,e_n$ bilden die Spalten der Einheitsmatrix $E_n$:

\[ E_n = \bigl( e_1, \ldots, e_n\bigr). \]

Neutrales Element

Die Einheitsmatrix \(E_n\) ist das neutrale Element der Multiplikation von quadratischen \(n \times n\) Matrizen; es gilt:

\[ E_n \cdot A = A = A \cdot E_n. \]

Die Einheitsmatrix \(E_n\) ist linksneutral bezüglich der Multiplikation quadratischer \(n \times n\) Matrizen, denn es gilt:

\begin{align*} E_n \cdot A &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ \delta_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_{ik} \cdot a_{kj}} \right]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} A. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die Einheitsmatrix \(E_n\) ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Multiplikation quadratischer Matrizen.

\begin{align*} A \cdot E_n &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \cdot {\Bigl[ \delta_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik} \cdot \delta_{kj}} \right]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} A. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(E_n\) und \(A\) durch die konkreten Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \(E_n \cdot A\) bzw. \(A \cdot E_n\) gemäß Definition der Multiplikation von Matrizen
(3)
  • Ausrechnen der Summe \(\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_{ik} \cdot a_{kj}}\) – bei \(\delta\) handelt es sich um das Kronecker-Delta
    \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_{ik} \cdot a_{kj}} &= \delta_{i0}a_{0j} + \ldots + \delta_{ii}a_{ij} + \ldots + \delta_{in}a_{nj} \\[0.5em] &= 0 \cdot a_{0j} + \ldots + 1 \cdot a_{ij} + \ldots + 0 \cdot a_{nj} \\[0.5em] &= a_{ij} \end{align*}
  • Ausrechnen von \(\sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik} \cdot \delta_{kj}}\) funktioniert analog
(4)
  • Ersetzen der konkreten Matrix durch \(A\)

Hinweis: Für nichtquadratische \(m \times n\) Matrizen existiert kein neutrales Element der Matrizenmultiplikation. Die Einheitsmatrizen \(E_m\) bzw. \(E_n\) verhalten sich in diesem Fall links- bzw. rechtsneutral bezüglich der Multiplikation – sind aber selbst nicht in der Menge der \(m \times n\) Matrizen enthalten.

Die Menge der quadratischen \(n \times n\) Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen unitären Ring \(\bigl(\mathcal{R}^{n \times n}, +, \cdot\bigr)\) – den Matrizenring. Die Einheitsmatrix \(E_n\) ist hierin das neutrale Element der Multiplikation.

Symmetrien

Die Einheitsmatrix ist symmetrisch. Für die transponierte Matrix gilt:

\[ E_n^T = E_n. \]

Die Einheitsmatrix ist zu sich selbst invers. Für die inverse Matrix gilt:

\[ E_n^{-1} = E_n. \]

Kenngrößen

  • Die Determinante der Einheitsmatrix $E_n$ ist Eins, d. h.:
    \[ \det\bigl(E_n\bigr) = 1. \]
  • Die Einheitsmatrix $E_n$ hat stets vollen Rang; es gilt:
    \[ \rg\bigl(E_n\bigr) = n. \]
  • Das charakteristische Polynom der Einheitsmatrix $E_n$ hat die Form
    \[ \chi(E_n) = {\bigl( \lambda - 1 \bigr)}^n. \]
    Der einzige Eigenwert ist $\lambda=1$ und besitzt die Vielfachheit $n$.

Idempotenz

Die Einheitsmatrix ist idempotent; es gilt:

\[ E_n \cdot E_n = E_n. \]