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Erweiterte Matrix

Bei einer erweiterten Matrix handelt es sich um eine Matrix, die man erhält, wenn man die Spalten zweier gegebener Matrizen bzw. einer Matrix und eines als Spaltenmatrix interpretierten Vektors aneinander hängt – oft mit dem Ziel, dieselben elementaren Zeilenumformungen auf beiden Matrizen parallel durchzuführen.

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei Matrizen $A \in R^{m \times n}$ und $B \in R^{m \times p}$ über einem Ring $R$, die dieselbe Anzahl an Zeilen besitzen. Bei der erweiterten Matrix $(A|B)$ handelt es sich um diejenige Matrix, die man erhält, wenn man die Spalten von $B$ an die Matrix $A$ anfügt, die Matrix $A$ also um die Spalten von $B$ erweitert.

\[ \bigl[A|B\bigr] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} \mid & & \mid & \mid & & \mid \\[0.25em] a_1 & \ldots & a_n & b_1 & \ldots & b_p \\[0.25em] \mid & & \mid & \mid & & \mid \end{array}\right] \]

Anstelle einer Matrix $B$ kann auch ein Vektor $b$ verwendet werden, um die Matrix $A$ zu erweitern.

\[ \bigl[A|b\bigr] = \left[\begin{array}{ccc|c} \mid & & \mid & \mid \\[0.25em] a_1 & \ldots & a_n & b \\[0.25em] \mid & & \mid & \mid \end{array}\right] \]

Beispiele

Lineare Gleichungssysteme

Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt, die anschließend in (erweiterte) Zeilenstufenform überführt wird.

\[ TODO \]

Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems

Mithilfe der erweiterten Koeffizientenmatrix kann man Rückschlüsse auf die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems ziehen.

  • Unterscheidet sich der Rang der Koeffizientenmatrix $A$ vom Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A|b)$, gilt also $\rg(A) \neq \rg(A|b)$, so besitzt das Gleichungssystem keine Lösungen.

  • Stimmt der Rang der Koeffizientenmatrix $A$ mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A,b)$ überein, gilt also $\rg(A) = \rg(A|b)$, so besitzt das Gleichungssystem mindestens eine Lösung.

    Entspricht dieser Rang der Anzahl der Variablen, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Ist der Rang kleiner als die Anzahl der Variablen, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Inverse Matrix

Zum Bestimmen der inversen Matrix $A^{-1}$ wird die zu invertierende $n \times n$ Matrix $A$ zunächst um die Einheitsmatrix $E_n$ erweitert und $(A|E_n)$ anschließend in erweiterte Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{c} \Bigl[ A|E_n \Bigr] \\[0.5em] \downarrow \\[0.5em] \Bigl[ E_n|A^{-1} \Bigr] \end{array}