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Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt ist eine grundlegende Konstruktion in der Mengenlehre, um aus gegebenen Mengen eine neue Menge zu erstellen. Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare, deren erster Eintrag aus der ersten Menge und deren zweiter Eintrag aus der zweiten Menge stammt.

Allgemein handelt es sich beim kartesischen Produkt mehrere Mengen um die Menge aller Tupel von Elementen der Mengen, wobei die Reihenfolge der Mengen und somit der entsprechenden Elemente fest vorgegeben ist.

Inhalt

Definition
Beispiele
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Das kartesische Produkt $A \times B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a,b)$, bei denen $a$ ein Element der Menge $A$ und $b$ ein Element der Menge $B$ ist:

A \times B = \Bigl\{ \bigl(a,b\bigr) \mid a \in A \wedge b \in B \Bigr\}.

Es ist insbesondere auch möglich, das kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst zu bilden:

A^2 = A \times A = \Bigl\{ \bigl(a_1,a_2\bigr) \mid a_1,a_2 \in A \Bigr\}.

Das kartesische Produkt von Mengen $A_1,\ldots,A_n$ ist die Menge aller $n$-Tupel $(a_1,\ldots,a_n)$, bei denen die Elemente $a_i$ aus der jeweiligen Menge $A_i$ stammen:

A_1 \times \ldots \times A_n = \Bigl\{ \bigl( a_1, \ldots, a_n \bigr) \mid a_1 \in A_1 \wedge \ldots \wedge a_n \in A_n \Bigr\}.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \bigl\{ 1,2,3 \bigr\}$ und $B = \bigl\{ a,b \bigr\}$. Für das kartesische Produkt $A \times B$ ergibt sich:

A \times B = \Bigl\{ \bigl(1,a\bigr), \bigl(1,b\bigr), \bigl(2,a\bigr), \bigl(2,b\bigr), \bigl(3,a\bigr), \bigl(3,b\bigr) \Bigr\}.

Beispiel 2

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ 1,2,3 \bigr\}$. Für das kartesische Produkt $A^2 = A \times A$ ergibt sich:

\begin{align*} A^2 = A \times A &= \Bigl\{ \bigl(1,1\bigr), \bigl(1,2\bigr), \bigl(1,3\bigr), \bigl(2,1\bigr), \bigl(2,2\bigr), \\[0.5em] &\qquad\bigl(2,3\bigr), \bigl(3,1\bigr), \bigl(3,2\bigr), \bigl(3,3\bigr) \Bigr\}. \end{align*}

Beispiel 3

Die reelle Zahlenebene entsteht aus dem kartesischen Produkt der reellen Zahlen $\R$ mit sich selbst:

\R^2 = \R \times \R = \Bigl\{ \bigl(x,y\bigr) \mid x,y \in \R \Bigr\}.

Beispiel 4

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{1,2\bigr\}$, $B = \bigl\{ a,b \bigr\}$ und $C = \bigl\{ \star,\diamond \bigr\}$. Für das kartesische Produkt $A \times B \times C$ ergibt sich:

\begin{align*} A \times B \times C &= \Bigl\{ \bigl( 1,a,\star \bigr), \bigl( 1,a,\diamond \bigr), \bigl( 1,b,\star \bigr), \bigl( 1,b,\diamond \bigr), \\[0.5em] &\qquad\bigl( 2,a,\star \bigr), \bigl( 2,a,\diamond \bigr), \bigl( 2,b,\star \bigr), \bigl( 2,b,\diamond \bigr) \Bigr\}. \end{align*}

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Eigenschaften

Mächtigkeit

Handelt es sich bei den Mengen $A$ und $B$ um endliche Mengen, dann ist das kartesische Produkt $A \times B$ eine endliche Menge geordneter Paare. Die Mächtigkeit $|A \times B|$ des kartesischen Produkts entspricht hierbei dem Produkt der Mächtigkeiten der Mengen $A$ und $B$:

|A \times B| = |A| \cdot |B|.

Die Anzahl der Elemente des kartesischen Produkts von endlichen Mengen $A_1,\ldots,A_n$ ergibt sich analog als Produkt der Anzahlen der Elemente der einzelnen Mengen:

|A_1 \times \ldots \times A_n| = \prod\limits_{i=1}^{n}{|A_i|} = |A_1| \cdot \ldots \cdot |A_n|.

Leere Menge

Aus der leeren Menge kann kein Element ausgewählt werden. Folglich ergibt das kartesische Produkt der leeren Menge mit einer beliebigen Menge $A$ stets die leere Menge:

\emptyset \times A = \emptyset = A \times \emptyset.

Handelt es sich beim kartesischen Produkt zweier Mengen $A$ und $B$ um die leere Menge, so ist mindestens eine dieser Mengen selbst die leere Menge:

A \times B = \emptyset \Rightarrow A = \emptyset \text{ oder } B = \emptyset.

Assoziativität

Das kartesische Produkt $\times$ von nichtleeren Mengen $A$, $B$ und $C$ ist im Allgemeinen nicht assoziativ:

\bigl( A \times B \bigr) \times C \neq A \times \bigl( B \times C \bigr).

Die Menge auf der linken Seite besteht aus Paaren, deren erster Eintrag ein Paar der Menge $A \times B$ und deren zweiter Eintrag ein Element der Menge $C$ ist. Die Menge auf der rechten Seite besteht aus Paaren, deren erster Eintrag ein Element der Menge $A$ und deren zweiter Eintrag ein Paar der Menge $B \times C$ ist.

Kommutativität

Das kartesische Produkt $\times$ von nichtleeren Mengen $A$ und $B$ ist im Allgemeinen nicht kommutativ:

A \times B \neq B \times A.

Die Menge $A \times B$ auf der linken Seite enthält Paare, deren erstes Element aus der Menge $A$ und deren zweites Element aus der Menge $B$ stammt, während die Menge $B \times A$ auf der rechten Seite Paare enthält, deren erstes Element aus der Menge $B$ und deren zweites Element aus der Menge $A$ stammt.

Distributivität

Für das kartesische Produkt $\times$ gelten die folgenden Distributivgesetze bezüglich der Vereinigung $\cup$, des Schnitts $\cap$, der Differenz $\setminus$ und der symmetrischen Differenz $\triangle$ von Mengen $A$, $B$ und $C$:

\begin{align*} \bigl( A \cup B \bigr) \times C &= \bigl( A \times C \bigr) \cup \bigl( B \times C \bigr) \\[0.5em] A \times \bigl( B \cup C \bigr) &= \bigl( A \times B \bigr) \cup \bigl( A \times C \bigr) \\[1.0em] \bigl( A \cap B \bigr) \times C &= \bigl( A \times C \bigr) \cap \bigl( B \times C \bigr) \\[0.5em] A \times \bigl( B \cap C \bigr) &= \bigl( A \times B \bigr) \cap \bigl( A \times C \bigr) \\[1.0em] \bigl( A \setminus B \bigr) \times C &= \bigl( A \times C \bigr) \setminus \bigl( B \times C \bigr) \\[0.5em] A \times \bigl( B \setminus C \bigr) &= \bigl( A \times B \bigr) \setminus \bigl( A \times C \bigr) \\[1.0em] \bigl( A \mathop{\triangle} B \bigr) \times C &= \bigl( A \times C \bigr) \mathop{\triangle} \bigl( B \times C \bigr) \\[0.5em] A \times \bigl( B \mathop{\triangle} C \bigr) &= \bigl( A \times B \bigr) \mathop{\triangle} \bigl( A \times C \bigr) \end{align*}