abc-Formel (Mitternachtsformel)

Bei der abc-Formel (auch Mitternachtsformel oder quadratische Lösungsformel) handelt es sich um eine allgemeine Lösungsformel zum Lösen von quadratischen Gleichungen. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der pq-Formel für nicht-normierte quadratische Gleichungen. Die abc-Formel kann beispielsweise mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.

Definition

Die abc-Formel (auch Mitternachtsformel oder quadratische Lösungsformel) ist eine allgemeine Lösungsformel, um alle Lösungen einer quadratischen Gleichung

zu bestimmen. Für die Lösungen der Gleichung gilt:

Bei der abc-Formel handelt es sich um eine Verallgemeinerung der pq-Formel, die auch bei nicht-normierten quadratischen Gleichungen verwendet werden kann, ohne diese zunächst zu normieren.

Anzahl der Lösungen

Reelle Lösungen einer reellen quadratischen Gleichung

Eine quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mit reellen Koeffizienten $a,b,c \in \R$ kann keine, eine oder zwei reelle Lösungen besitzen. Die Anzahl der Lösungen ist abhängig vom Term unter der Wurzel – der Diskriminante $D$. Die Gleichung besitzt

• zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $D \gt 0$ gilt:
  \[ x_{1/2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]
• eine (doppelte) reelle Lösung, falls $D = 0$ gilt:
  \[ x_{1/2} = -\dfrac{b}{2a}. \]
• keine reellen Lösungen, falls $D \lt 0$ gilt.

Hinweis: Eine Diskriminante ist ein Term, mit dessen Hilfe eine Unterscheidung möglich ist, nicht der Term unter der Wurzel per se; dieser wird Radikand genannt.

Komplexe Lösungen einer reellen quadratischen Gleichung

Eine quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mit reellen Koeffizienten $a,b,c \in \R$ besitzt stets zwei komplexe Lösungen. Abhängig von der Diskriminante $D$ gilt: Die Gleichung besitzt

• zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $D \gt 0$ gilt:
  \[ x_{1/2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]
• eine (doppelte) reelle Lösung, falls $D = 0$ gilt:
  \[ x_{1/2} = -\dfrac{b}{2a}. \]
• zwei verschiedene komplexe Lösungen, falls $D \lt 0$ gilt:
  \begin{align*} x_{1/2} &= -\dfrac{b}{2a} \pm i \cdot \dfrac{\sqrt{|b^2 - 4ac|}}{2a} \\[0.5em] &= -\dfrac{b}{2a} \pm i \cdot \dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}. \end{align*}

Lösungen einer komplexen quadratischen Gleichung

Eine quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mit komplexen Koeffizienten $a,b,c \in \C$ besitzt stets zwei komplexe Lösungen, die sich mithilfe der komplexen Wurzeln der (komplexen) Diskriminante ergeben:

Herleitung der abc-Formel

Herleitung mithilfe der quadratischen Ergänzung

Die abc-Formel kann mithilfe quadratischer Ergänzung hergeleitet werden. Gegeben sei eine quadratische Gleichung

mit $a \neq 0$. Zunächst wird die Gleichung normiert, indem beide Seiten der Gleichung durch $a$ geteilt werden.

Anschließend wird die Gleichung aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable $x$ abhängen, auf der linken Seite der Gleichung stehen, und alle konstanten Terme auf der rechten Seite.

Im nächsten Schritt wird die linke Seite in die Form $x^2+2dx+d^2$ gebracht. Hierzu wird der Term $d^2$ auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Der Wert von $d$ kann aus der zuvor normierten Gleichung direkt abgelesen werden; es gilt $d=\frac{b}{2a}$.

Mithilfe der ersten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung anschließend direkt zu einem Quadrat umgeschrieben werden.

Im vorletzten Schritt wird nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen, wobei potenziell zwei Lösungen entstehen – eine positive und eine negative Lösung.

Abschließendes Umstellen nach $x$ liefert die gesuchten Lösungen.

Herleitung mithilfe der pq-Formel

Die abc-Formel kann mithilfe der pq-Formel hergeleitet werden. Gegeben sei eine quadratische Gleichung

mit $a \neq 0$, die zunächst normiert wird, indem beide Seiten der Gleichung durch $a$ geteilt werden.

Anschließendes Einsetzen in die pq-Formel mit $p = \frac{b}{a}$ und $q=\frac{c}{a}$ liefert die gesuchten Lösungen:

Varianten der abc-Formel

Es existieren verschiedene äquivalente Varianten der abc-Formel, die durch Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln und Potenzen ineinander überführt werden können.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die quadratische Gleichung

mit $a=2$, $b=-10$ und $c=12$. Mithilfe der abc-Formel ergibt sich:

Da die Diskriminante $D=\frac{1}{4}$ größer als Null ist, existieren zwei reelle Lösungen für die quadratische Gleichung:

Beispiel 2

Gegeben sei die quadratische Gleichung

mit $a=1$, $b=-6$ und $c=9$. Mithilfe der abc-Formel ergibt sich:

Da die Diskriminante $D=0$ gleich Null ist, existiert nur eine (doppelte) reelle Lösung für die quadratische Gleichung:

Beispiel 3

Gegeben sei die quadratische Gleichung

mit $a=3$, $b=6$ und $c=9$. Mithilfe der abc-Formel ergibt sich:

Da die Diskriminante $D=-2$ kleiner als Null ist, existieren keine reellen Lösungen für die quadratische Gleichung.

Im Bereich der komplexen Zahlen ist die Gleichung hingegen lösbar und es gilt: