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Wurzeln einer komplexen Zahl

Bei den n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl handelt es sich um diejenigen komplexen Zahlen, deren $n$-te (komplexe) Potenzen der radizierten Zahl entsprechen.

Definitionen

Wurzeln einer komplexen Zahl (Polarform)

Gegeben sei eine komplexe Zahl $z$ in Polarform (mit $r,\varphi \in \R$) sowie eine natürliche Zahl $n$ mit $n \geq 2$:

\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}

Bei den $\mathbf{n}$-ten Wurzeln der komplexen Zahl $z$ handelt es sich um die folgenden komplexen Zahlen $w_k$, für die $w_k^n=z$ gilt (mit $k \in \Z$ und $0 \leq k \lt n$):

\begin{align*} w_k &= \sqrt[n]{r} \cdot \left( \cos\left( \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right) + i \cdot \sin\left( \frac{\varphi+2\pi k}{n} \right) \right) \\[0.5em] &= \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \cdot \frac{\varphi+2\pi k}{n}}. \end{align*}

Die für $k \lt 0$ bzw. $k \geq n$ erhaltenen Lösungen entsprechen aufgrund der Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion den Lösungen für $0 \leq k \lt n$, sodass insgesamt $n$ verschiedene $n$-te Wurzeln der komplexen Zahl $z$ existieren. Im Gegensatz zur Wurzel einer reellen Zahl ist die Wurzel einer komplexen Zahl nicht eindeutig bestimmt; alle Wurzeln $w_k$ sind gleichwertig.

Die folgende Darstellung veranschaulicht exemplarisch die $5$-ten Wurzeln $w_0,\ldots,w_4$ einer komplexen Zahl $z$:

Darstellung der 5-ten Wurzeln einer komplexen Zahl

Quadratwurzeln einer komplexen Zahl (algebraische Form)

Gegeben sei eine komplexe Zahl $z = a+ib$ in algebraischer Form (mit $a,b\in\R$). Bei den Quadratwurzeln $w_1$ und $w_2$ der komplexen Zahl $z$ handelt es sich um die Zahlen

\begin{align*} w_{1/2} &= \pm \left( \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + i \cdot \sgn(b) \cdot \sqrt{\frac{|z|-a}{2}} \right) \\[0.5em] &= \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + i \cdot \sgn(b) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right). \end{align*}

Bei $|z|$ handelt es sich um den (absoluten) Betrag der komplexen Zahl $z$, bei $\sgn(b)$ handelt es sich um die Vorzeichenfunktion, die das Vorzeichen $+1$ oder $-1$ des Imaginärteils $b$ liefert.

2ⁿ-te Wurzeln einer komplexen Zahl (algebraische Form)

Gegeben sei eine komplexe Zahl $z = a+ib$ in algebraischer Form (mit $a,b\in\R$). Die $\mathbf{2^n}$-ten Wurzeln der komplexen Zahl $z$ können durch $n$-faches Berechnen der Quadratwurzel bestimmt werden.

Einheitswurzeln

Bei den $\mathbf{n}$-ten Einheitswurzeln der komplexen Zahlen handelt es sich um die komplexen Zahlen $\zeta_k$, für die $\zeta_k^n=1$ gilt (mit $k \in \Z$ und $0 \leq k \lt n$):

\begin{align*} \zeta_k &= \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \\[0.5em] &= e^{i \cdot \frac{2\pi k}{n}}. \end{align*}

Alternativ lassen sich die $n$-ten Einheitswurzeln auch als die Potenzen $\zeta_n^0=1$, $\zeta_n^1=\zeta_n$, $\zeta_n^2$, $\ldots$, $\zeta_n^{n-1}$ der Zahl

\begin{align*} \zeta_n &= \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\[0.5em] &= e^{i \cdot \frac{2\pi}{n}} \end{align*}

darstellen. Die Werte $\zeta_n^k$ entsprechen hierbei den zuvor definierten Werten $\zeta_k$; die Gleichheit ergibt sich unmittelbar aus dem Satz von de Moivre.

Herleitung

Gegeben sei eine komplexe Zahl $z = a+ib$ in algebraischer Form (mit $a,b \in \R$). Damit es sich bei der komplexen Zahl $w=u+iv$ (mit $u,v \in \R$) um eine Quadratwurzel von $z$ handelt, muss der folgende Zusammenhang gelten:

\begin{align*} z = a + ib &= w \cdot w \\[0.5em] &= (u+iv) \cdot (u+iv) \\[0.5em] &= uu + uiv + ivu + iviv \\[0.5em] &= u^2-v^2 + i \cdot 2uv. \end{align*}

Gleichsetzen der Real- bzw. Imaginärteile von $z$ und $w^2$ liefert das Gleichungssystem

\begin{align*} a &\overset{(1)}{=} u^2-v^2 \\[0.5em] b &\overset{(2)}{=} 2uv, \end{align*}

das nach $u$ und $v$ aufgelöst werden kann. Zum Lösen dieses nichtlinearen Gleichungssystems wird die zusätzliche Gleichung

|z| = |w^2| = {|w|}^2 = u^2+v^2

verwendet, die den absoluten Betrag der komplexen Zahl $z=w^2$ darstellt. Zu dieser wird zunächst die Gleichung (1) addiert und nach $u$ umgestellt, sowie die Gleichung (2) subtrahiert und nach $v$ umgestellt. Es folgt:

\begin{align*} |z| + a &= u^2 + v^2 + u^2 - v^2 \\[0.5em] &= 2u^2 \\[0.5em] \Rightarrow u_{1/2} &= \pm\sqrt{\frac{|z|+a}{2}} \\[2em] |z| - a &= u^2 + v^2 - u^2 + v^2 \\[0.5em] &= 2v^2 \\[0.5em] \Rightarrow v_{1/2} &= \pm\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\ . \end{align*}

Einsetzen von $u_{1/2}$ und $v_{1/2}$ in die erste Gleichung zeigt, dass diese die Gleichung (unabhängig von den $\pm$ Vorzeichen) stets lösen; es gilt:

\begin{align*} a &= u^2-v^2 \\[0.5em] &= {\left(\pm\sqrt{\frac{|z|+a}{2}}\right)}^2 - {\left(\pm\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\right)}^2 \\[0.5em] &= \frac{|z|+a}{2} - \frac{|z|-a}{2} \\[0.5em] &= a. \end{align*}

Einsetzen von $u_{1/2}$ und $v_{1/2}$ in die zweite Gleichung liefert:

\begin{align*} b &= 2uv \\[0.5em] &= 2 \cdot \left(\pm\sqrt{\frac{|z|+a}{2}}\right) \cdot \left(\pm\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\right) \\[0.5em] &= \pm\sqrt{(|z|+a) \cdot (|z|-a)} \\[0.5em] &= \pm\sqrt{|z|^2-a^2} \\[0.5em] &= \pm\sqrt{a^2+b^2-a^2} \\[0.5em] &= \pm\sqrt{b^2}. \end{align*}

Diese Gleichheit gilt genau dann, wenn das Vorzeichen der Wurzel mit dem Vorzeichen von $b$ übereinstimmt. Aus diesem Grund ist es zweckdienlich, entweder die beiden positiven Lösungen oder die beiden negativen Lösungen für $u$ und $v$ zu verwenden und zusätzlich die Lösung für $v$ mit dem Faktor $\sgn(b)$ zu multiplizieren – die Multiplikation von $u$ und $v$ ergibt für identische Vorzeichen stets ein positives Ergebnis und der Faktor $\sgn(b)$ sorgt für die Angleichung an das Vorzeichen des Imaginärteils $b$.

Für die gesuchten komplexen Wurzeln ergeben sich somit die folgenden beiden Lösungen:

\begin{align*} w_{1/2} &= \pm \left( \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + i \cdot \sgn(b) \cdot \sqrt{\frac{|z|-a}{2}} \right) \\[0.5em] &= \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + i \cdot \sgn(b) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right). \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Es sollen die $5$-ten Wurzeln der folgenden komplexen Zahl $z$ in Polarform berechnet werden:

z = 2 \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \right).

Gemäß der Formel für die $n$-ten Wurzeln einer komplexen Zahl in Polarform ergibt sich für die komplexen Wurzeln $w_k$:

\begin{align*} w_k &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{\frac{\pi}{5}+2\pi k}{5}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\frac{\pi}{5}+2\pi k}{5}\right) \right) \\[0.5em] &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi+10\pi k}{25}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi+10\pi k}{25}\right) \right) \\[0.5em] &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{10k+1}{25}\cdot\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{10k+1}{25}\cdot\pi\right) \right). \end{align*}

Einsetzen von $k=0,\ldots,4$ liefert die gesuchten komplexen Wurzeln:

\begin{align*} w_0 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{1}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{1}{25}\,\pi\right) \right) \\[0.5em] w_1 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{11}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{11}{25}\,\pi\right) \right) \\[0.5em] w_2 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{21}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{21}{25}\,\pi\right) \right) \\[0.5em] w_3 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{31}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{31}{25}\,\pi\right) \right) \\[0.5em] w_4 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{41}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{41}{25}\,\pi\right) \right). \end{align*}

Beispiel 2

Es sollen die Quadratwurzeln der folgenden komplexen Zahl $z$ in algebraischer Form berechnet werden:

\[ z = 3+4i. \]

Einsetzen des Real- und Imaginärteils in die Lösungsformel für die Quadratwurzeln einer komplexen Zahl in algebraischer Form ergibt:

w_{1/2} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3^2+4^2}+3}{2}} + i \cdot \sgn(4) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{3^2+4^2}-3}{2}} \right)

\begin{align*} \Rightarrow w_1 &= 2 + i\\[0.5em] w_2 &= -2 - i. \end{align*}