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Satz von de Moivre

Der Satz von de Moivre (auch Moivrescher Satz oder Formel von de Moivre) beschreibt, wie ganzzahlige Potenzen von komplexen Zahlen in Polarform elegant berechnet werden können und ist nach dem französischen Mathematiker Abraham de Moivre benannt.

Inhalt

Definition

Gegeben seien eine reelle Zahl \(x\) sowie eine ganze Zahl \(n\). Der Satz von de Moivre besagt, dass stets die folgende Gleichheit gilt:

\[ {\bigl( \cos(x) + i \cdot \sin(x) \bigr)}^n = \cos(nx) + i \cdot \sin(nx). \]

Verallgemeinerung: Anstelle einer reellen Zahl \(x\) kann der Satz von de Moivre auch für beliebige komplexe Zahlen \(z\) formuliert werden. Für nicht ganzzahlige Exponenten \(n\) gilt der Satz von de Moivre nicht unmittelbar, da es sich beim Potenzieren dann um eine mehrwertige Funktion handelt und es sich bei der Potenz somit nicht um einen einzelnen Wert handelt.

Beweis

Beweis für natürliche Exponenten

Der Satz von de Moivre kann für natürliche Potenzen mittels vollständiger Induktion bewiesen werden, indem die Aussage durch Nachrechnen zunächst für ein spezielles \(n\) (z. B. für \(n=0\)) überprüft wird und anschließend gezeigt wird, dass unter der Annahme, die Aussage gelte für ein konkretes \(n\), dann auch die entsprechende Aussage für dessen Nachfolger \(n+1\) gilt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für \(n=0\) gültig, denn es gilt:

\begin{align*} {\bigl( \cos(x) + i \cdot \sin(x) \bigr)}^0 &= 1 \\[0.5em] \cos(0 \cdot x) + i \cdot \sin(0 \cdot x) &= 1 + 0i = 1. \end{align*}

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für ein festes \(n \in \N_0\).

\begin{align*} {\bigl( \cos(x) + i \cdot \sin(x) \bigr)}^{n+1} &\overset{(1)}{=} {\bigl( \cos(x) + i \cdot \sin(x) \bigr)}^{n} \cdot \bigl( \cos(x) + i \cdot \sin(x) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl( \cos(nx) + i \cdot \sin(nx) \bigr) \cdot \bigl( \cos(x) + i \cdot \sin(x) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \cos(nx) \cdot \cos(x) + \cos(nx) \cdot i \cdot \sin(x) + i \cdot \sin(nx) \cdot \cos(x) + \underbrace{i \cdot \sin(nx) \cdot i \cdot \sin(x)}_{=\ -\sin(nx)\cdot\sin(x)} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \underbrace{\cos(nx) \cdot \cos(x) - \sin(nx) \cdot \sin(x)}_{=\ \cos(nx+x)} + i \cdot \bigl(\smash[b]{\underbrace{\sin(nx) \cdot \cos(x) + \cos(nx) \cdot \sin(x)}_{=\ \sin(nx+x)}}\bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \cos\bigl((n+1)x\bigr) + i \cdot \sin\bigl((n+1)x\bigr) \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Zurückführen der Aussage für \(n+1\) auf die Aussage für \(n\) mithilfe von Potenzgesetz Ia
(2)
  • Ersetzen von \({\bigl(\cos(x)+i\cdot\sin(x)\bigr)}^n\) durch die Induktionsannahme
(3)
(4)
  • Ersetzen von \(i^2=-1\)
  • Gruppieren nach Real- und Imaginärteil
(5)
  • Anwenden der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Insgesamt folgt, dass die Behauptung für \(n+1\) gilt, falls sie für \(n\) gilt. Gemeinsam mit dem Induktionsanfang folgt somit die Gültigkeit des Satzes von de Moivre für alle natürlichen Zahlen \(n \in \N_0\).

Beweis für ganzzahlige Exponenten

Der Beweis des Satzes von de Moivre für beliebige (negative) ganzzahlige Werte \(-n\) (mit \(n \in N\)) kann nun wie folgt gezeigt werden:

\begin{align*} {\bigl( \cos(x) + i \cdot \sin(x) \bigr)}^{-n} &\overset{(1)}{=} {\left( {\bigl( \cos(x) + i \cdot \sin(x) \bigr)}^n \right)}^{-1} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl( \cos(nx) + i \cdot \sin(nx) \bigr)}^{-1} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{\cos(nx) + i \cdot \sin(nx)} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{\cos(nx) - i \cdot \sin(nx)}{\cos^2(nx) + \sin^2(nx)} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \cos(nx) - i \cdot \sin(nx) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \cos(-nx) + i \cdot \sin(-nx) \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Anwenden des Satzes von de Moivre für natürliche Potenzen
(3)
  • Definition der Potenz \(z^{-1}\)
(4)
(5)
  • Ausrechnen des Nenners mithilfe der für alle \(x \in \R\) gültigen Eigenschaft \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\)
(6)
  • Ersetzen von \(\cos(nx)=\cos(-nx)\), da es sich bei Kosinus um eine gerade Funktion handelt
  • Ersetzen von \(-\sin(nx)=\sin(-nx)\), da es sich bei Sinus um eine ungerade Funktion handelt

Verallgemeinerung

Verallgemeinerung für komplexe Werte

Der Satz von de Moivre kann für ganzzahlige Exponenten \(n\) von reellen Zahlen auf komplexe Zahlen \(z=x+iy\) erweitert werden; es gilt:

\[ {\bigl( \cos(z) + i \cdot \sin(z) \bigr)}^n = \cos(nz) + i \cdot \sin(nz). \]

Hierbei gilt:

\begin{align*} \cos(z) = \cos(x+iy) &= \cos(x) \cdot \cosh(y) + i \cdot \sin(x) \cdot \sinh(y) \\[0.5em] \sin(z) = \sin(x+iy) &= \sin(x) \cdot \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \cdot \sinh(y). \end{align*}

Verallgemeinerung für nicht ganzzahlige Exponenten

Der Satz von de Moivre gilt nicht für nicht ganzzahlige Potenzen, wie das folgende Beispiel zeigt. Für \(x=0\) und \(x=2\pi\) handelt es sich bei \(\cos(x)+i\cdot\sin(x)\) um zwei Darstellungen derselben komplexen Zahl. Für \(n = \frac{1}{2}\) gilt:

\begin{align*} \bigl( \cos(0) + i \cdot \sin(0) \bigr)^{\frac{1}{2}} &= {\bigl( 1 + 0i \bigr)}^\frac{1}{2} = 1 \\[0.5em] \bigl( \cos(2\pi) + i \cdot \sin(2\pi) \bigr)^{\frac{1}{2}} &= {\bigl( 1 + 0i \bigr)}^\frac{1}{2} = 1, \end{align*}

allerdings gilt ebenfalls:

\begin{align*} \cos\left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) + i \cdot \sin\left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) &= \cos(0) + i \cdot \sin(0) = 1 \\[0.5em] \cos\left(\frac{1}{2} \cdot 2\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{1}{2} \cdot 2\pi\right) &= \cos(\pi) + i \cdot \sin(\pi) = -1. \end{align*}

Abhängig von der gewählten Darstellung der komplexen Zahl liefert der Satz von de Moivre also verschiedene Ergebnisse. Beim gewählten Beispiel handelt es sich allerdings sowohl bei \(1\) als auch bei \(-1\) um (komplexe) Quadratwurzeln der Zahl 1 – und somit um gültige Lösungen. Dies gilt analog auch für (beliebige) andere nicht ganzzahlige Exponenten.

Allgemein gilt für beliebige komplexe Zahlen \(z\) und \(w\), dass es sich bei

\[ {\bigl( \cos(z) + i \cdot \sin(z) \bigr)}^w \]

um eine mehrwertige Funktion handelt und dass das Ergebnis somit nicht der einzelne Wert \(\cos(wz) + i \cdot \sin(wz)\) ist, der sich aus der Formel von de Moivre ergibt; dieser ist jedoch stets einer der Werte von \({\bigl( \cos(z) + i \cdot \sin(z) \bigr)}^w\).