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Wurzeln einer komplexen Zahl

Bei den n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl handelt es sich um diejenigen komplexen Zahlen, deren \(n\)-te Potenzen der radizierten Zahl entsprechen.

Inhalt

Definitionen
Herleitung
Beispiele

Definitionen

Wurzeln einer komplexen Zahl (Polarform)

Gegeben sei eine komplexe Zahl \(z\) in Polarform (mit \(r,\varphi \in \R\)) sowie eine natürliche Zahl \(n\) mit \(n \geq 2\):

\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}

Bei den \(\mathbf{n}\)-ten Wurzeln der komplexen Zahl \(z\) handelt es sich um die folgenden komplexen Zahlen \(w_k\), für die \(w_k^n=z\) gilt (mit \(k \in \Z\) und \(0 \leq k \lt n\)):

\begin{align*} w_k &= \sqrt[n]{r} \cdot \left( \cos\left( \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right) + i \cdot \sin\left( \frac{\varphi+2\pi k}{n} \right) \right) \\[0.5em] &= \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \cdot \frac{\varphi+2\pi k}{n}}. \end{align*}

Die für \(k \lt 0\) bzw. \(k \geq n\) erhaltenen Lösungen entsprechen aufgrund der Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion den Lösungen für \(0 \leq k \lt n\), sodass insgesamt \(n\) verschiedene \(n\)-te Wurzeln der komplexen Zahl \(z\) existieren. Im Gegensatz zur Wurzel einer reellen Zahl ist die Wurzel einer komplexen Zahl nicht eindeutig bestimmt; alle Wurzeln \(w_k\) sind gleichwertig.

Die folgende Darstellung veranschaulicht exemplarisch die \(5\)-ten Wurzeln \(w_0,\ldots,w_4\) einer komplexen Zahl \(z\):

Darstellung der 5-ten Wurzeln einer komplexen Zahl

Quadratwurzeln einer komplexen Zahl (algebraische Form)

Gegeben sei eine komplexe Zahl \(z = a+ib\) in algebraischer Form (mit \(a,b\in\R\)). Bei den Quadratwurzeln \(w_1\) und \(w_2\) der komplexen Zahl \(z\) handelt es sich um die Zahlen

\begin{align*} w_{1/2} &= \pm \left( \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + i \cdot \sgn(b) \cdot \sqrt{\frac{|z|-a}{2}} \right) \\[0.5em] &= \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + i \cdot \sgn(b) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right). \end{align*}

Bei \(|z|\) handelt es sich um den (absoluten) Betrag der komplexen Zahl \(z\), bei \(\sgn(b)\) handelt es sich um die Signumfunktion, die das Vorzeichen \(+1\) oder \(-1\) des Imaginärteils \(b\) liefert.

2ⁿ-te Wurzeln einer komplexen Zahl (algebraische Form)

Gegeben sei eine komplexe Zahl \(z = a+ib\) in algebraischer Form (mit \(a,b\in\R\)). Die \(\mathbf{2^n}\)-ten Wurzeln der komplexen Zahl \(z\) können durch \(n\)-faches Berechnen der Quadratwurzel bestimmt werden.

Einheitswurzeln

Bei den \(\mathbf{n}\)-ten Einheitswurzeln der komplexen Zahlen handelt es sich um die komplexen Zahlen \(\zeta_k\), für die \(\zeta_k^n=1\) gilt (mit \(k \in \Z\) und \(0 \leq k \lt n\)):

\begin{align*} \zeta_k &= \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \\[0.5em] &= e^{i \cdot \frac{2\pi k}{n}}. \end{align*}

Alternativ lassen sich die \(n\)-ten Einheitswurzeln auch als die Potenzen \(\zeta_n^0=1\), \(\zeta_n^1=\zeta_n\), \(\zeta_n^2\), \(\ldots\), \(\zeta_n^{n-1}\) der Zahl

\begin{align*} \zeta_n &= \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\[0.5em] &= e^{i \cdot \frac{2\pi}{n}} \end{align*}

darstellen. Die Werte \(\zeta_n^k\) entsprechen hierbei den zuvor definierten Werten \(\zeta_k\); die Gleichheit ergibt sich unmittelbar aus dem Satz von de Moivre.

Herleitung

Gegeben sei eine komplexe Zahl \(z = a+ib\) in algebraischer Form (mit \(a,b \in \R\)). Damit es sich bei der komplexen Zahl \(w=u+iv\) (mit \(u,v \in \R\)) um eine Quadratwurzel von \(z\) handelt, muss der folgende Zusammenhang gelten:

\begin{align*} z = a + ib &= w \cdot w \\[0.5em] &= (u+iv) \cdot (u+iv) \\[0.5em] &= uu + uiv + ivu + iviv \\[0.5em] &= u^2-v^2 + i \cdot 2uv. \end{align*}

Gleichsetzen der Real- bzw. Imaginärteile von \(z\) und \(w^2\) liefert das Gleichungssystem

\begin{align*} a &\overset{(1)}{=} u^2-v^2 \\[0.5em] b &\overset{(2)}{=} 2uv, \end{align*}

das nach \(u\) und \(v\) aufgelöst werden kann. Zum Lösen dieses nichtlinearen Gleichungssystems wird die zusätzliche Gleichung

|z| = |w^2| = {|w|}^2 = u^2+v^2

verwendet, die den absoluten Betrag der komplexen Zahl \(z=w^2\) darstellt. Zu dieser wird zunächst die Gleichung (1) addiert und nach \(u\) umgestellt, sowie die Gleichung (2) subtrahiert und nach \(v\) umgestellt. Es folgt:

\begin{align*} |z| + a &= u^2 + v^2 + u^2 - v^2 \\[0.5em] &= 2u^2 \\[0.5em] \Rightarrow u_{1/2} &= \pm\sqrt{\frac{|z|+a}{2}} \\[2em] |z| - a &= u^2 + v^2 - u^2 + v^2 \\[0.5em] &= 2v^2 \\[0.5em] \Rightarrow v_{1/2} &= \pm\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\ . \end{align*}

Einsetzen von \(u_{1/2}\) und \(v_{1/2}\) in die erste Gleichung zeigt, dass diese die Gleichung (unabhängig von den \(\pm\) Vorzeichen) stets lösen; es gilt:

\begin{align*} a &= u^2-v^2 \\[0.5em] &= {\left(\pm\sqrt{\frac{|z|+a}{2}}\right)}^2 - {\left(\pm\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\right)}^2 \\[0.5em] &= \frac{|z|+a}{2} - \frac{|z|-a}{2} \\[0.5em] &= a. \end{align*}

Einsetzen von \(u_{1/2}\) und \(v_{1/2}\) in die zweite Gleichung liefert:

\begin{align*} b &= 2uv \\[0.5em] &= 2 \cdot \left(\pm\sqrt{\frac{|z|+a}{2}}\right) \cdot \left(\pm\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\right) \\[0.5em] &= \pm\sqrt{(|z|+a) \cdot (|z|-a)} \\[0.5em] &= \pm\sqrt{|z|^2-a^2} \\[0.5em] &= \pm\sqrt{a^2+b^2-a^2} \\[0.5em] &= \pm\sqrt{b^2}. \end{align*}

Diese Gleichheit gilt genau dann, wenn das Vorzeichen der Wurzel mit dem Vorzeichen von \(b\) übereinstimmt. Aus diesem Grund ist es zweckdienlich, entweder die beiden positiven Lösungen oder die beiden negativen Lösungen für \(u\) und \(v\) zu verwenden und zusätzlich die Lösung für \(v\) mit dem Faktor \(\sgn(b)\) zu multiplizieren – die Multiplikation von \(u\) und \(v\) ergibt für identische Vorzeichen stets ein positives Ergebnis und der Faktor \(\sgn(b)\) sorgt für die Angleichung an das Vorzeichen des Imaginärteils \(b\).

Für die gesuchten komplexen Wurzeln ergeben sich somit die folgenden beiden Lösungen:

\begin{align*} w_{1/2} &= \pm \left( \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + i \cdot \sgn(b) \cdot \sqrt{\frac{|z|-a}{2}} \right) \\[0.5em] &= \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + i \cdot \sgn(b) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right). \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Es sollen die \(5\)-ten Wurzeln der folgenden komplexen Zahl \(z\) in Polarform berechnet werden:

z = 2 \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \right).

Gemäß der Formel für die \(n\)-ten Wurzeln einer komplexen Zahl in Polarform ergibt sich für die komplexen Wurzeln \(w_k\):

\begin{align*} w_k &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{\frac{\pi}{5}+2\pi k}{5}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\frac{\pi}{5}+2\pi k}{5}\right) \right) \\[0.5em] &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi+10\pi k}{25}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi+10\pi k}{25}\right) \right) \\[0.5em] &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{10k+1}{25}\cdot\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{10k+1}{25}\cdot\pi\right) \right). \end{align*}

Einsetzen von \(k=0,\ldots,4\) liefert die gesuchten komplexen Wurzeln:

\begin{align*} w_0 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{1}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{1}{25}\,\pi\right) \right) \\[0.5em] w_1 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{11}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{11}{25}\,\pi\right) \right) \\[0.5em] w_2 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{21}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{21}{25}\,\pi\right) \right) \\[0.5em] w_3 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{31}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{31}{25}\,\pi\right) \right) \\[0.5em] w_4 &= \sqrt[5]{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{41}{25}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{41}{25}\,\pi\right) \right). \end{align*}

Beispiel 2

Es sollen die Quadratwurzeln der folgenden komplexen Zahl \(z\) in algebraischer Form berechnet werden:

\[ z = 3+4i. \]

Einsetzen des Real- und Imaginärteils in die Lösungsformel für die Quadratwurzeln einer komplexen Zahl in algebraischer Form ergibt:

w_{1/2} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3^2+4^2}+3}{2}} + i \cdot \sgn(4) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{3^2+4^2}-3}{2}} \right)

\begin{align*} \Rightarrow w_1 &= 2 + i\\[0.5em] w_2 &= -2 - i. \end{align*}