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Logarithmus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Logarithmusfunktion (abgekürzt: ln oder log) kann direkt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Ableitungsregel

Die Ableitung der Logarithmusfunktion (abgekürzt: ln oder log) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \ln(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{x} \end{align*}

Die Ableitung der Logarithmusfunktion mit beliebiger Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \log_a(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \log_a(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{x \cdot \ln(a)} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel für die Basis e

Die Herleitung der Ableitungsregel der natürlichen Logarithmusfunktion erfolgt unmittelbar mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Hierbei werden die Grenzwertsätze für das Rechnen mit Grenzwerten, eine Variablensubstitution sowie die Definition der Eulerschen Zahl $e$ benötigt. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{h} \cdot \Bigl( \ln(x+h) - \ln(x) \Bigr) \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{h} \cdot \ln{\left( \frac{x+h}{x} \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{h} \cdot \ln{\left( 1 + \frac{h}{x} \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{xt} \cdot \ln{\left( 1+t \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{x} \cdot \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{t} \cdot \ln{\left( 1+t \right)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{x} \cdot \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \ln{{\left( 1+t \right)}^{\frac{1}{t}}} \right)} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{x} \cdot \ln{\left( \lim\limits_{t \rightarrow 0}{{\left( 1+t \right)}^{\frac{1}{t}}} \right)} \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{1}{x} \cdot \ln{\left( e \right)} \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} \frac{1}{x} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)
  • Umschreiben des Bruchs $\frac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h}$ als Produkt
(3)
(4)
  • Umschreiben des Bruchs $\frac{x+h}{h}$ als Summe:
    \begin{align*} \frac{x+h}{x} &= \frac{x}{x} + \frac{h}{x} \\[0.75em] &= 1 + \frac{h}{x} \end{align*}
(5)
  • Substitution mit $t = \frac{h}{x}$
  • Es gilt entsprechend $h=xt$
(6)
  • Herausziehen des von $t$ unabhängigen Faktors $\frac{1}{x}$ aus dem Grenzwert
(7)
(8)
  • Hineinziehen des Limes in die stetige Logarithmusfunktion
(9)
(10)
  • Ausrechnen von $\ln(e) = 1$

Herleitung der Ableitungsregel für eine beliebige Basis a

Die Herleitung der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion mit einer beliebigen Basis erfolgt unmittelbar durch das Zurückführen auf die natürliche Logarithmusfunktion. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \log_a(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{\ln(x)}{\ln(a)} \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(x) \Bigr] \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{x \cdot \ln(a)} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Zurückführen des Logarithmus zur Basis $a$ auf den natürlichen Logarithmus
(2)
(3)
  • Anwenden der Ableitungsregel der natürlichen Logarithmusfunktion
(4)
  • Zusammenfassen

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \ln(5x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \ln(5x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{5x} \cdot {\Bigl[ 5x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{5x} \cdot 5 \\[0.75em] &= \frac{1}{x} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \log_2\left( x^3 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \log_2\left( x^3 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{x^3 \cdot \ln(2)} \cdot {\Bigl[ x^3 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{x^3 \cdot \ln(2)} \cdot 3x^2 \\[0.75em] &= \frac{3}{x \cdot \ln(2)} \end{align*}