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Körperhomomorphismus

Bei einem Körperhomomorphismus handelt es sich um einen Homomorphismus (also um eine strukturerhaltende Abbildung) zwischen zwei Körpern.

Inhalt

Definitionen
Eigenschaften
Arten von Körperhomomorphismen
Beispiele

Definitionen

(Körper-)Homomorphismus

Gegeben seien zwei Körper \(\mathcal{K}_1 = \bigl(K_1,\oplus,\odot\bigr)\) und \(\mathcal{K}_2 = \bigl(K_2,\boxplus,\boxdot\bigr)\). Eine Abbildung \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) wird (Körper-)Homomorphismus genannt, wenn sie strukturerhaltend ist, d. h., wenn für alle Elemente \(a,b \in K_1\) stets die folgenden Eigenschaften gelten:

\begin{align*} \varphi(a \oplus b) &= \varphi(a) \boxplus \varphi(b) \\[0.5em] \varphi(a \odot b) &= \varphi(a) \boxdot \varphi(b) \\[0.5em] \varphi(e_\odot) &= e_\boxdot. \end{align*}

Bei der Abbildung \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppen \(\bigl(K_1,\oplus\bigr)\) und \(\bigl(K_2,\boxplus\bigr)\) der beiden Körper und bezüglich der multiplikativen Gruppen \(\bigl(K_1 \setminus \{e_\oplus\},\odot\bigr)\) und \(\bigl(K_2 \setminus \{e_\boxplus\},\boxdot\bigr)\) der beiden Körper.

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden. Die neutralen Elemente (der Multiplikation) werden aufeinander abgebildet.

Bild und Kern

Beim Bild eines Körperhomomorphismus \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) handelt es sich um die Bildmenge von \(K_1\) unter \(\varphi\), also um die Menge der Elemente aus \(K_2\), auf die die Elemente aus \(K_1\) abgebildet werden:

\operatorname{Bild}(\varphi) = \operatorname{im}(\varphi) = \varphi(K_1) = \Bigl\{ \varphi(a) \mid a \in K_1 \Bigr\}.

Beim Kern eines Körperhomomorphismus \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) handelt es sich um die Elemente aus \(K_1\), die auf das Nullelement \(e_\boxplus\) des Körpers \(\mathcal{K}_2\) abgebildet werden:

\operatorname{Kern}(\varphi) = \operatorname{ker}(\varphi) = \varphi^{-1}(e_\boxplus) = \Bigl\{ a \in K_1 \mid \varphi(a) = e_\boxplus \Bigr\}.

Es gilt \(\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq K_2\) und \(\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq K_1\). Die Abbildung \(\varphi\) ist stets injektiv, da der Kern von \(\varphi\) nur das Nullelement \(e_\oplus\) des Körpers \(\mathcal{K}_1\) enthält, und sie ist genau dann surjektiv, wenn \(\operatorname{Bild}(\varphi) = K_2\) gilt. Es handelt sich beim Bild von \(\varphi\) um einen Unterkörper des Körpers \(\mathcal{K}_2\).

Verkettung von Körperhomomorphismen

Handelt es sich bei \(\varphi_1: K_1 \rightarrow K_2\) und bei \(\varphi_2: K_2 \rightarrow R_3\) um zwei Körperhomomorphismen, so handelt es sich bei ihrer Komposition \(\varphi_2 \circ \varphi_1: K_1 \rightarrow R_3\) ebenfalls um einen Körperhomomorphismus.

Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Körperhomomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.

Eigenschaften

Neutrales Element der Addition

Gemäß der Definition eines Körperhomomorphismus \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) gilt für alle \(a \in K_1\) und das additive neutrale Element \(e_\oplus \in K_1\) stets

\begin{align*} \varphi(a) &= \varphi(a \oplus e_\oplus) = \varphi(a) \boxplus \varphi(e_\oplus) \\[0.5em] \varphi(a) &= \varphi(e_\oplus \oplus a) = \varphi(e_\oplus) \boxplus \varphi(a). \end{align*}

Das Element \(\varphi(e_\oplus) \in K_2\) ist folglich links- und rechtsneutral (und somit neutral) bezüglich der Addition \(\boxplus\).

In Worten: Das additive neutrale Element von \(\mathcal{K}_1\) wird auf das additive neutrale Element von \(\mathcal{K}_2\) abgebildet.

Inverse Elemente

Gemäß der Definition eines Körperhomomorphismus \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) gilt für alle \(a \in K_1\), die additiven inversen Elemente \(-a \in K_1\) und die additiven neutralen Elemente \(e_\oplus \in K_1\) und \(e_\boxplus \in K_2\) stets

\begin{align*} e_\boxplus = \varphi(e_\oplus) &= \varphi\bigl(a \oplus (-a)\bigr) = \varphi(a) \boxplus \varphi(-a) \\[0.5em] e_\boxplus = \varphi(e_\oplus) &= \varphi\bigl((-a) \oplus a\bigr) = \varphi(-a) \boxplus \varphi(a). \end{align*}

Das Element \(\varphi(-a) \in K_2\) ist bezüglich der Addition \(\boxplus\) folglich links- und rechtsinvers (und somit invers) zum Element \(\varphi(a) \in K_2\). Hieraus folgt unmittelbar \(\varphi(-a) = -\varphi(a)\).

Gemäß der Definition eines Körperhomomorphismus \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) gilt analog für alle \(a \in K_1 \setminus \{e_\oplus\}\), die multiplikativen inversen Elemente \(a^{-1} \in K_1 \setminus \{e_\oplus\}\) und die multiplikativen neutralen Elemente \(e_\odot \in K_1\) und \(e_\boxdot \in K_2\) stets

\begin{align*} e_\boxdot = \varphi(e_\odot) &= \varphi(a \odot a^{-1}) = \varphi(a) \boxdot \varphi(a^{-1}) \\[0.5em] e_\boxdot = \varphi(e_\odot) &= \varphi(a^{-1} \odot a) = \varphi(a^{-1}) \boxdot \varphi(a). \end{align*}

Das Element \(\varphi(a^{-1}) \in K_2\) ist bezüglich der Multiplikation \(\boxdot\) folglich links- und rechtsinvers (und somit invers) zum Element \(\varphi(a) \in K_2\). Hieraus folgt unmittelbar \(\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}\).

In Worten: Die additiven bzw. multiplikativen inversen Elemente in \(\mathcal{K}_1\) werden auf die additiven bzw. multiplikativen inversen Elemente in \(\mathcal{K}_2\) abgebildet.

Kern

Seien \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) ein Körperhomomorphismus, \(a \neq e_\oplus\) und \(a^{-1}\) zwei zueinander inverse Elemente des Körpers \(\mathcal{K}_1\) und gelte \(\varphi(a) = e_\boxplus\). Für ein beliebiges \(b \in K_1\) gilt dann

\begin{align*} b &= b \odot e_\odot \\[0.5em] &= b \odot (a^{-1} \odot a) \\[0.5em] &= (b \odot a^{-1}) \odot a, \end{align*}

woraus

\begin{align*} \varphi(b) &= \varphi\bigl((b \odot a^{-1}) \odot a\bigr) \\[0.5em] &= \varphi(b \odot a^{-1}) \boxdot \varphi(a) \\[0.5em] &= \varphi(b \odot a^{-1}) \boxdot e_\boxplus \\[0.5em] &= e_\boxplus \end{align*}

folgt. Der letzte Schritt folgt aus der Eigenschaft, dass es sich beim neutralen Element \(e_\oplus\) der Addition um ein absorbierendes Element der Multiplikation \(e_\odot\) handelt.

Die vorausgehende Gleichung besagt, dass jedes Element \(b \in K_1\) auf das Nullelement \(e_\boxplus \in K_2\) abgebildet wird, falls es neben dem Nullelement \(e_\oplus\) im Körper \(\mathcal{K}_1\) ein weiteres Element \(a\) gibt, das auf \(e_\boxplus\) abgebildet wird. Hieraus folgt insbesondere \(\varphi(e_\odot) = e_\boxplus\) – im Widerspruch zur geforderten Eigenschaft \(\varphi(e_\odot) = e_\boxdot\) eines Körperhomomorphismus. Folglich kann ein solches Element \(a\) nicht existieren. Hieraus ergibt sich unmittelbar:

\operatorname{Kern}(\varphi) = \Bigl\{ e_\oplus \Bigr\}.

Injektivität

Ein Körperhomomorphismus \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) ist stets injektiv. Seien \(a,b \in K_1\) mit \(\varphi(a)=\varphi(b)\). Dann gilt:

\begin{align*} \varphi(a-b) &= \varphi\bigl(a+(-b)\bigr) \\[0.5em] &= \varphi(a) + \varphi(-b) \\[0.5em] &= \varphi(a) + \bigl(-\varphi(b)\bigr) \\[0.5em] &= \varphi(a) - \varphi(b) \\[0.5em] &= e_\boxplus. \end{align*}

Aus \(\varphi(a-b)=e_\boxplus\) folgt \(a-b=e_\oplus\), und somit \(a=b\), woraus sich die Injektivität von \(\varphi\) ergibt.

Arten von Körperhomomorphismen

(Körper-)Isomorphismus

Ein Körperhomomorphismus \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) wird (Körper-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) bijektiv ist.

Ist \(\varphi: K_1 \rightarrow K_2\) ein Körperisomorphismus, so ist auch die Umkehrfunktion \(\varphi^{-1}: K_2 \rightarrow K_1\) ein Körperisomorphismus und die Körper werden isomorph genannt. Sie stimmen für nahezu alle Zwecke überein und unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente.

(Körper-)Endomorphismus

Ein Körperhomomorphismus \(\varphi: K \rightarrow K\) eines Körpers in sich selbst wird (Körper-)Endomorphismus genannt.

(Körper-)Automorphismus

Ein Körperhomomorphismus \(\varphi: K \rightarrow K\) eines Körpers in sich selbst wird (Körper-)Automorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) bijektiv ist.

Beispiele

Triviale Beispiele

Für beliebige Körper \(\mathcal{K}_1 = \bigl(K_1,\oplus,\odot\bigr)\) und \(\mathcal{K}_2 = \bigl(K_2,\boxplus,\boxdot\bigr)\) handelt es sich bei der Nullabbildung, die alle Elemente aus \(K_1\) auf das Nullelement \(e_\boxplus \in K_2\) abbildet, nicht um einen Körperhomomorphismus, da das Einselement \(e_\odot \in K_1\) nicht auf das Einselement \(e_\boxdot \in K_2\) abgebildet wird.
Für einen beliebigen Körper \(\mathcal{K} = \bigl(K,\oplus,\odot\bigr)\) handelt es sich bei der identischen Abbildung \(\id_K: K \rightarrow K\) mit \(\id_K(a)=a\) um einen Körperautomorphismus.

Nichttriviale Beispiele

Bei der komplexen Konjugation \(\C \rightarrow \C\) mit \(z \mapsto \overline{z}\) handelt es sich um einen Körperhomomorphismus. Diese Abbildung ist bijektiv; es handelt sich um einen Körperautomorphismus.
Endliche Körper mit \(p\) Elementen, wobei \(p\) eine Primzahl ist, besitzen mit Ausnahme der identischen Abbildung keine weiteren Körperautomorphismen.