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Sekans hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Sekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sech) kann direkt aus der Definition der Sekans-hyperbolicus-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Sekans-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ als Kehrwert der Kosinus-hyperbolicus-Funktion dargestellt werden:

\sech(x) = \frac{1}{\cosh(x)}

Ableitungsregel

Die Ableitung der Sekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sech) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \Bigl[ \sech(x) \Bigr]' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sech(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\sech^2(x)}{\csch(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\tanh(x)}{\cosh(x)} \\[0.75em] &= -\sech(x) \cdot \tanh(x) \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Sekans-hyperbolicus-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Sekans-hyperbolicus-Funktion der Kehrwert der Kosinus-hyperbolicus-Funktion ist. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden folglich die Ableitungsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion sowie die Reziprokenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst und umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \sech(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{\cosh(x)} \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} -\frac{\frac{d}{dx} \bigl[ \cosh(x) \bigr]}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} -\frac{\sech^2(x)}{\csch(x)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} -\frac{\tanh(x)}{\cosh(x)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} -\sech(x) \cdot \tanh(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Einsetzen der Definition der Sekans-hyperbolicus-Funktion
(2)	Anwenden der Reziprokenregel
(3)	Anwenden der Ableitungsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion
(4)	Ersetzen von $\sinh(x)$ durch $\frac{1}{\csch(x)}$ gemäß Definition der Kosekans-hyperbolicus-Funktion Ersetzen von $\cosh(x)$ durch $\frac{1}{\sech(x)}$ gemäß Definition der Sekans-hyperbolicus-Funktion
(5)	Ausgehend von (3): Ersetzen von $\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ durch $\tanh(x)$ gemäß Definition der Tangens-hyperbolicus-Funktion
(6)	Ersetzen von $\frac{1}{\cosh(x)}$ durch $\sech(x)$ gemäß Definition der Sekans-hyperbolicus-Funktion

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Sekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \sech(4x)

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \sech(4x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\sech(4x) \cdot \tanh(4x) \cdot {\Bigl[ 4x \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\sech(4x) \cdot \tanh(4x) \cdot 4 \\[0.75em] &= -4 \cdot \sech(4x) \cdot \tanh(4x) \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Sekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \sech\left( x^3 \right)

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \sech\left( x^3 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\sech\left(x^3\right) \cdot \tanh\left(x^3\right) \cdot {\Bigl[ x^3 \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\sech\left(x^3\right) \cdot \tanh\left(x^3\right) \cdot 3x^2 \\[0.75em] &= -3 \cdot \sech\left(x^3\right) \cdot \tanh\left(x^3\right) \cdot x^2 \end{align*}