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Sinus hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sinh) kann direkt aus der Definition der Sinus-hyperbolicus-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Sinus-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mithilfe der (natürlichen) Exponentialfunktion dargestellt werden:

\[ \sinh(x) = \frac{1}{2} \cdot \Bigl( e^x - e^{-x} \Bigr) \]

Ableitungsregel

Die Ableitung der Sinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sinh) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \sinh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sinh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \cosh(x) \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Sinus-hyperbolicus-Funktion aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist, für die bereits alle notwendigen Ableitungsregeln bekannt sind. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden unter anderem die Ableitungsregel der Exponentialfunktion sowie die Kettenregel und die Summenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \sinh(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \cdot \left( e^x - e^{-x} \right) \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{2} \cdot \left( e^x - e^{-x} \cdot \frac{d}{dx} \bigl[-x\bigr] \right) \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{2} \cdot \left( e^x - \left( -e^{-x} \right) \right) \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{2} \cdot \left( e^x + e^{-x} \right)\\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \cosh(x) \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Ausrechnen bzw. Zusammenfassen
(5)

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \sinh(2x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \sinh(2x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \cosh(2x) \cdot {\Bigl[ 2x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \cosh(2x) \cdot 2 \\[0.75em] &= 2 \cdot \cosh(2x) \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \sinh\left( x^3 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \sinh\left( x^3 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \cosh\left( x^3 \right) \cdot {\Bigl[ x^3 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \cosh\left( x^3 \right) \cdot 3x^2 \\[0.75em] &= 3 \cdot \cosh\left( x^3 \right) \cdot x^2 \end{align*}