Bei der Multiplikation von ganzen Zahlen wird das Produkt berechnet, indem die Elemente der formal zugrundeliegenden Paare natürlicher Zahlen nach einem festen Schema addiert/multipliziert werden.
Die Äquivalenzklasse \({\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) repräsentiert hierbei konzeptuell die ganze Zahl, die sich als Differenz \(a-b\) ergibt.
Multiplikation von ganzen Zahlen
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen als Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \N\)):
Hinweis: Anstelle des Operators \(\odot\) wird für die ganzzahlige Multiplikation typischerweise ebenfalls der Operator \(\cdot\) als Schreibweise verwendet.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen:
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen (mit \(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \N\)), die durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) dargestellt werden:
Ausklammern der Faktoren \(a_1\) und \(b_1\) mithilfe der Distributivgesetze für natürliche Zahlen
Umsortieren einiger Summanden mithilfe der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen
(6)
Aufteilen des Produkts \(n_1 \odot \bigl(n_2 \odot n_3\bigr)\) auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der Multiplikation von ganzen Zahlen
(7)
Aufteilen des Produkts \(n_2 \odot n_3\) auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der Multiplikation von ganzen Zahlen
(8)
Ersetzen der Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) durch die ganzen Zahlen \(n_1\), \(n_2\) und \(n_3\)
Kommutativität
Die Multiplikation von ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\) ist kommutativ; es gilt:
\[ n_1 \odot n_2 = n_2 \odot n_1. \]
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \N\)), die durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) dargestellt werden:
Ersetzen der ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\) durch die entsprechenden Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\)
(2)
Ausrechnen von \(n_1 \odot n_2\) gemäß Definition der Multiplikation von ganzen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \(a_1a_2+b_1b_2=a_2a_1+b_2b_1\) gilt aufgrund der Kommutativität der Multiplikation von natürlichen Zahlen
Die Gleichheit \(a_1b_2+b_1a_2=a_2b_1+b_2a_1\) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition und Multiplikation von natürlichen Zahlen
(4)
Aufteilen des Produkts \(n_2 \odot n_1\) auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der Multiplikation von ganzen Zahlen
(5)
Ersetzen der Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) durch die ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\)
Neutrales Element
Die ganze Zahl \(1 = {\bigl[(2,1)\bigr]}_\sim\) ist das neutrale Element der Multiplikation von ganzen Zahlen; es gilt:
\[ 1 \odot n = n = n \odot 1. \]
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen (mit \(a,b \in \N\)), die durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) dargestellt werden:
\begin{align*} n &= {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] 1 &= {\bigl[(2,1)\bigr]}_\sim. \end{align*}
Die ganze Zahl \(1\) ist linksneutral bezüglich der Multiplikation, denn es gilt:
\begin{align*} 1 \odot n &\overset{(1)}{=} {\bigl[(2,1)\bigr]}_\sim \odot {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl[(2a+b,2b+a)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} n. \end{align*}
Analog kann gezeigt werden, dass die ganze Zahl \(1\) bezüglich der Multiplikation ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Multiplikation von ganzen Zahlen:
\begin{align*} n \odot 1 &\overset{(1)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \odot {\bigl[(2,1)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl[(2a+b,a+2b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} n. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
Ersetzen der ganzen Zahlen \(n\) und \(1\) durch die entsprechenden Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\)
(2)
Ausrechnen von \(1 \odot n\) bzw. \(n \odot 1\) gemäß Definition der Multiplikation von ganzen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \({\bigl[(2a+b,2b+a)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) bzw. \({\bigl[(2a+b,a+2b)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) gilt aufgrund der Definition der Relation \(\sim\), denn es gilt \(2a+b+b = 2b+a+a\) bzw. \(2a+b+b = a+2b+a\)
Die Gleichheit \(2a+b+b = 2b+a+a\) bzw. \(2a+b+b = a+2b+a\) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen sowie aufgrund der Definition der Multiplikation von natürlichen Zahlen
(4)
Ersetzen der Äquivalenzklasse der Relation \(\sim\) durch die ganze Zahl \(n\)
Hinweis: Werden die ganzen Zahlen mithilfe der Menge \(\N_0\) definiert, so kann das multiplikative neutrale Element vereinfachend als \(1 = {\bigl[(1,0)\bigr]}_\sim\) dargestellt werden.
Inverses Element
Das inverse Element einer ganzen Zahl \(n\) bezüglich der Multiplikation von ganzen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.
Nachweis der Wohldefiniertheit
Für die formale Definition der Multiplikation von ganzen Zahlen ist es notwendig, dass diese wohldefiniert ist, d. h., dass das Ergebnis lediglich von den verknüpften Äquivalenzklassen, aber nicht von den konkreten Repräsentanten der Äquivalenzklassen abhängt.
Die Wohldefiniertheit der ganzzahligen Multiplikation kann wie folgt gezeigt werden: Gegeben seien natürliche Zahlen \(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,d_1,d_2 \in \N\). Es gelte \((a_1,b_1) \sim (a_2,b_2)\) sowie \((c_1,d_1) \sim (c_2,d_2)\). Gemäß der Definition der Relation \(\sim\) gelten somit die folgenden Gleichheiten:
Multiplikation der Gleichungen (I) und (II) mit \(c_1,c_2,d_1,d_2\) bzw. \(a_1,a_2,b_1,b_2,\) liefert die folgenden Gleichungen. (Bei den mit \(\star\) markierten Gleichungen wurden außerdem die Seiten vertauscht.)
Subtraktion der Terme \({\color{CornflowerBlue} c_1b_2}\), \({\color{Orange} c_2a_1}\), \({\color{Magenta} d_1a_2}\), \({\color{LimeGreen} d_2b_1}\), \({\color{Red} a_1d_2}\), \({\color{Goldenrod} a_2c_1}\), \({\color{CadetBlue} b_1c_2}\) und \({\color{Lavender} b_2d_1}\) auf beiden Seiten der Gleichung
Es gilt exemplarisch \(c_1a_1 = a_1c_1\) aufgrund der Kommutativität der Multiplikation von natürlichen Zahlen
(3)
Ausklammern der 2 mithilfe der Distributivität der Addition und Multiplikation von natürlichen Zahlen
(4)
Division durch 2
Gemäß der Definition der Relation \(\sim\) folgt aus (4) unmittelbar \((a_1c_1+b_1d_1,a_1d_1+b_1c_1) \sim (a_2c_2+b_2d_2,a_2d_2+b_2c_2)\) und somit die Wohldefiniertheit der Multiplikation.
