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Logarithmus einer Wurzel (Logarithmusgesetz III)

Bei Logarithmusgesetz III zum Logarithmus einer Wurzel, auch Wurzelregel für Logarithmen genannt, handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie der Logarithmus von Quadratwurzeln und Wurzeln mit beliebigem Wurzelexponenten auf den Logarithmus des Radikanden zurückgeführt werden kann. Die Wurzelregel ist ein wichtiges Werkzeug, um beim Lösen von Gleichungen unbekannte Wurzelexponenten zu bestimmen und Wurzeln mithilfe des Logarithmus aufzulösen.

Definition

Logarithmus einer Quadratwurzel

Der Logarithmus der Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl $x \in \R$ kann berechnet werden, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten als Faktor vor den Logarithmus gezogen wird. Es gilt:

\[ \log_b{\left( \sqrt{x} \right)} = \frac{1}{2} \cdot \log_b{x}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für reelle Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Logarithmus einer Wurzel

Der Logarithmus einer Wurzel mit beliebigem Wurzelexponenten $n \in \N$ mit $n \geq 2$ einer positiven reellen Zahl $x \in \R$ kann analog zum vorherigen Fall berechnet werden, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten als Faktor vor den Logarithmus gezogen wird. Es gilt:

\[ \log_b{\left( \sqrt[n]{x} \right)} = \frac{1}{n} \cdot \log_b{x}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für reelle Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$, natürliche Zahlen $n \in \N$ mit $n \geq 2$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.
  • Hinweis: Für ungerade Werte von $n$ kann die Wurzel $\sqrt[n]{\phantom{x}}$ auch für negative Werte von $x$ berechnet werden und ist selbst negativ. Da der Logarithmus für negative Werte nicht definiert ist, gilt folglich auch für diesen Fall die Einschränkung $x \gt 0$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus der Quadratwurzel einer Variable bestimmt.

\[ \ln{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \cdot \ln{a} \]

Beispiel 2

Das zweite Beispiel zeigt die Berechnung des Logarithmus einer Kubikwurzel einer ganzen Zahl.

\begin{align*} \log_2{\sqrt[3]{256}} &= \frac{1}{3} \cdot \log_2{256} \\[0.5em] &= \frac{1}{3} \cdot 8 \\[0.5em] &= \frac{8}{3} \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird die Wurzelregel für Logarithmen verwendet, um einen unbekannten Wurzelexponenten zu bestimmen. Hierzu wird die Gleichung zunächst logarithmiert und anschließend umgestellt.

\begin{align*} & & \sqrt[n]{8} &= 2 \\[0.5em] &\implies & \log_2{\sqrt[n]{8}} &= \log_2{2} \\[0.5em] &\implies & \frac{1}{n} \cdot \log_2{8} &= \log_2{2} \\[0.5em] &\implies & \frac{1}{n} \cdot 3 &= 1 \\[0.5em] &\implies & n &= 3 \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz für Logarithmen von Wurzeln kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \gt 0$, eine natürliche Zahl $n \in \N$ mit $n \geq 2$ sowie eine reelle Zahl $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$. Es gilt:

\begin{align*} \log_b{\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\bigl( x^{\frac{1}{n}} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{n} \cdot \log_b{x}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)