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Logarithmusgesetz III: Logarithmus einer Wurzel

Bei Logarithmusgesetz III handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Logarithmus einer Wurzel berechnet werden kann.

Definition

Der Logarithmus der $n$-ten Wurzel einer reellen Zahl $x \in \R$ kann berechnet werden, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten als Faktor vor den Logarithmus gezogen wird. Es gilt:

\[ \log_b{\left( \sqrt[n]{x} \right)} = \frac{1}{n} \cdot \log_b{x}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Wurzel bestimmt.

\[ \ln{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \cdot \ln{a} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Wurzel mit ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_2{\sqrt[3]{256}} &= \frac{1}{3} \cdot \log_2{256} \\[0.5em] &= \frac{1}{3} \cdot 8 \\[0.5em] &= \frac{8}{3} \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \gt 0$, eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie eine reelle Zahl $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$. Es gilt:

\begin{align*} \log_b{\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\bigl( x^{\frac{1}{n}} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{n} \cdot \log_b{x}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)