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Logarithmusgesetz III: Logarithmus einer Wurzel

Bei Logarithmusgesetz III handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Logarithmus einer Wurzel berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Der Logarithmus der \(n\)-ten Wurzel einer reellen Zahl \(x \in \R\) kann berechnet werden, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten als Faktor vor den Logarithmus gezogen wird. Es gilt:

\[ \log_b{\left( \sqrt[n]{x} \right)} = \frac{1}{n} \cdot \log_b{x}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Wurzel bestimmt.

\[ \ln{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \cdot \ln{a} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Wurzel mit ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_2{\sqrt[3]{256}} &= \frac{1}{3} \cdot \log_2{256} \\[0.5em] &= \frac{1}{3} \cdot 8 \\[0.5em] &= \frac{8}{3} \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl \(x \in \R\) mit \(x \gt 0\), eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie eine reelle Zahl \(b \in \R\) mit \(b \gt 0\) und \(b \neq 1\). Es gilt:

\begin{align*} \log_b{\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\bigl( x^{\frac{1}{n}} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{n} \cdot \log_b{x}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)