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Addition von Polynomen

Bei der Polynomaddition wird die Summe von zwei Polynomen berechnet, indem die Koeffizienten der jeweils selben Potenz addiert werden.

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\) mit Grad \(n\) bzw. Grad \(m\), deren Koeffizienten aus einem Ring \(\mathcal{R}\) stammen.

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k} = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \ldots + b_mx^m \end{align*}

Die Summe der beiden Polynome wird berechnet, indem die Koeffizienten \(a_k\) bzw. \(b_k\) der Potenzen \(x^k\) von \(a(x)\) bzw. \(b(x)\) addiert werden. Ist die Potenz \(x^k\) in einem der Polynome nicht vorhanden, dann besitzt der zugehörige Koeffizient \(a_k\) bzw. \(b_k\) den Wert \(0_\mathcal{R}\).

\begin{align*} a(x) + b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\max(m,n)}{\bigl(a_k+b_k\bigr) x^k} \\[0.5em] &= (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + \ldots \end{align*}

Für den Grad der Summe gilt:

\[ \grad\bigl(a(x)+b(x)\bigr) \leq \max\bigl(m,n\bigr). \]

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen \(\Z\):

\begin{align*} a(x) &= 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \\[0.5em] b(x) &= 3x^4 + x^2 - x + 2 \end{align*}

Für die Summe \(a(x)+b(x)\) ergibt sich somit:

\begin{align*} a(x)+b(x) &= 3x^4 + 4x^3 + \Bigl(3+1\Bigr)x^2 + \Bigl(2+(-1)\Bigr)x + \Bigl(1+2\Bigr) \\[0.5em] &= 3x^4 + 4x^3 + 4x^2 + x + 3 \end{align*}

Der Grad der Summe \(a(x)+b(x)\) ist \(4\) – der höhere der beiden Grade \(3\) und \(4\) der Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\).

Beispiel 2

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den rationalen Zahlen \(\Q\):

\begin{align*} a(x) &= \frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{1}{3} \\[0.5em] b(x) &= -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} \end{align*}

Für die Summe \(a(x)+b(x)\) ergibt sich somit:

\begin{align*} a(x)+b(x) &= \left(\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)\right)x^2 + 2x + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right) \\[0.5em] &= 2x + \frac{1}{2} \end{align*}

Der Grad der Summe \(a(x)+b(x)\) ist \(1\) – und somit kleiner als der Grad \(2\) der beiden Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\).

Beispiel 3

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus dem Restklassenring \(\Z_8\):

\begin{align*} a(x) &= {[3]}_8 x^3 + {[1]}_8 x^2 + {[6]}_8 x + {[4]}_8 \\[0.5em] b(x) &= {[5]}_8 x^3 + {[7]}_8 x^2 + {[2]}_8 x + {[4]}_8 \end{align*}

Für die Summe \(a(x)+b(x)\) ergibt sich somit:

\begin{align*} a(x)+b(x) &= \Bigl({[3]}_8+{[5]}_8\Bigr) x^3 + \Bigl({[1]}_8+{[7]}_8\Bigr) x^2 + \Bigl({[6]}_8+{[2]}_8\Bigr) x + \Bigl({[4]}_8+{[4]}_8\Bigr) \\[0.5em] &= {[0]}_8 \end{align*}

Bei der Summe \(a(x)+b(x)\) handelt es sich um das Nullpolynom. Beim Polynom \(b(x)\) handelt es sich entsprechend um das additive Inverse des Polynoms \(a(x)\).

Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von Polynomen \(a(x)\), \(b(x)\) und \(c(x)\) ist assoziativ; es gilt:

\[ \Bigl( a(x) + b(x) \Bigr) + c(x) = a(x) + \Bigl( b(x) + c(x) \Bigr). \]

Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Die Assoziativität der Addition von Polynomen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \Bigl(a(x)+b(x)\Bigr)+c(x) &\overset{(1)}{=} \left(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} + \sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k}\right) + \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{(a_k+b_k)\,x^k} + \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m,r)}{\Bigl((a_k+b_k) + c_k\Bigr)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m,r)}{\Bigl(a_k+(b_k + c_k)\Bigr)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} + \sum\limits_{k=0}^{\max(m,r)}{(b_k+c_k)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} + \left( \sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k} + \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k}\right) \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} a(x)+\Bigl(b(x)+c(x)\Bigr) \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Polynome \(a(x)\), \(b(x)\) und \(c(x)\) durch die entsprechenden Summen
(2)
  • Ausrechnen von \(a(x)+b(x)\) gemäß Definition der Addition von Polynomen
(3)
  • Addition von \(c(x)\) gemäß Definition der Addition von Polynomen
(4)
  • Die Gleichheit \((a_k+b_k)+c_k = a_k+(b_k+c_k)\) gilt aufgrund der Assoziativität der Addition im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(5)
  • Aufteilen der Summe \(a(x)+\bigl(b(x)+c(x)\bigr)\) auf zwei separate Summen mithilfe der Definition der Addition von Polynomen
(6)
  • Aufteilen der Summe \(b(x)+c(x)\) auf zwei separate Summen mithilfe der Definition der Addition von Polynomen
(7)
  • Ersetzen der Summen durch die Polynome \(a(x)\), \(b(x)\) und \(c(x)\)

Kommutativität

Die Addition von Polynomen \(a(x)\) und \(b(x)\) ist kommutativ; es gilt:

\[ a(x) + b(x) = b(x) + a(x). \]

Die Kommutativität der Addition von Polynomen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} a(x) + b(x) &\overset{(1)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} + \sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{(a_k+b_k)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{(b_k+a_k)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k} + \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} b(x) + a(x) \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\) durch die entsprechenden Summen
(2)
  • Definition der Addition von Polynomen
(3)
  • Die Gleichheit \(a_k+b_k = b_k+a_k\) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)
  • Definition der Addition von Polynomen
(5)
  • Ersetzen der Summen durch die Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\)

Neutrales Element

Das Nullpolynom \(0\) ist das neutrale Element der Polynomaddition; es gilt:

\[ 0 + a(x) = a(x) = a(x) + 0. \]

Das Nullpolynom \(0\) ist linksneutral bezüglich der Polynomaddition, denn es gilt:

\begin{align*} 0 + a(x) &\overset{(1)}{=} 0 + a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} (0 + a_0) + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a(x). \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass das Nullpolynom ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Polynomaddition:

\begin{align*} a(x) + 0 &\overset{(1)}{=} a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n + 0 \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} (0 + a_0) + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a(x). \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition des Polynoms \(a(x)\)
(2)
  • Die Umformung gilt, da die Addition im Ring \(\mathcal{R}\) assoziativ und kommutativ ist
(3)
  • Ausrechnen von \(0+a_0\) ergibt \(a_0\), da \(0\) das neutrale Element der Addition im Ring \(\mathcal{R}\) ist.
(4)
  • Definition des Polynoms \(a(x)\)

Inverses Element

Das inverse Element eines Polynoms \(a(x)\) bezüglich der Polynomaddition ist das Polynom \(-a(x)\), bei dessen Koeffizienten \(-a_k\) es sich um die additiven Inversen der Koeffizienten \(a_k\) des Polynoms \(a(x)\) handelt; es gilt:

\[ \bigl(-a(x)\bigr) + a(x) = 0 = a(x) + \bigl(-a(x)\bigr). \]

Das Polynom \(-a(x)\) ist linksinvers zum Polynom \(a(x)\), denn es gilt:

\begin{align*} \bigl(-a(x)\bigr) + a(x) &\overset{(1)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{(-a_k)\,x^k} + \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{\Bigl( (-a_k) + a_k \Bigr)\, x^k} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{0\, x^k} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} 0 \\[1em] \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass das Polynom \(-a(x)\) ebenfalls rechtsinvers zum Polynom \(a(x)\) ist, und dass es sich somit um das additive Inverse handelt:

\begin{align*} a(x) + \bigl(-a(x)\bigr) &\overset{(1)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} + \sum\limits_{k=0}^{n}{(-a_k)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{\Bigl( a_k + (-a_k) \Bigr)\, x^k} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{0\, x^k} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=}0 \\[1em] \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition der Polynome \(a(x)\) und \(-a(x)\)
(2)
  • Definition der Addition von Polynomen
(3)
  • Ausrechnen der Terme \((-a_k)+a_k\) bzw. \(a_k+(-a_k)\) ergibt \(0\), da es sich im Ring \(\mathcal{R}\) bei \(-a_k\) um das additive Inverse von \(a_k\) handelt
(4)
  • Definition des Nullpolynoms \(0\)