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Addition von Restklassen

Bei der Addition von Restklassen (auch Restklassenaddition) wird die Summe zweier Restklassen bestimmt, indem die Restklasse der Summe ihrer Repräsentanten bestimmt wird.

Inhalt

Definition
Beispiele
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien ganze Zahlen \(x,y \in \Z\) sowie eine natürliche Zahl \(m \in \N\). Für Elemente \({[x]}_m\) und \({[y]}_m\) des Restklassenrings \(\Z_m\) wird die Restklassenaddition \(\oplus\) wie folgt definiert:

\begin{array}{c} \oplus: \Z_m \times \Z_m \rightarrow \Z_m \\[0.5em] {[x]}_m \oplus {[y]}_m = {[x+y]}_m \end{array}

In Worten: Bei der Summe der Restklassen \({[x]}_m\) und \({[y]}_m\) handelt es sich um die Restklasse der Summe \(x+y\) ihrer (ganzzahligen) Repräsentanten.

Hinweis: Anstelle des Operators \(\oplus\) wird für die Restklassenaddition häufig auch vereinfachend der Operator \(+\) verwendet.

Beispiele

Beispiel 1

Es soll die Summe der Restklassen \({[4]}_5\) und \({[3]}_5\) berechnet werden. Gemäß der Definition der Addition von Restklassen ergibt sich:

\begin{align*} {[4]}_5 \oplus {[3]}_5 &= {[4+3]}_5 \\[0.5em] &= {[7]}_5 \\[0.5em] &= {[2]}_5 \end{align*}

Da es sich bei \({[7]}_5\) nicht um den Standardvertreter der Restklasse handelt, wird das Zwischenergebnis im letzten Schritt entsprechend umgerechnet.

Beispiel 2

Es soll die Summe der Restklassen \({[7]}_{13}\), \({[11]}_{13}\) und \({[12]}_{13}\) berechnet werden. Gemäß der Definition der Addition von Restklassen ergibt sich:

\begin{align*} {[7]}_{13} \oplus {[11]}_{13} \oplus {[12]}_{13} &= {[7+11+12]}_{13} \\[0.5em] &= {[30]}_{13} \\[0.5em] &= {[4]}_{13} \end{align*}

Da es sich bei \({[30]}_{13}\) nicht um den Standardvertreter der Restklasse handelt, wird das Zwischenergebnis im letzten Schritt entsprechend umgerechnet.

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Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von Restklassen modulo \(m\) ist assoziativ.

\begin{align*} \Bigl( {[x]}_m \oplus {[y]}_m \Bigr) \oplus {[z]}_m &= {[x]}_m \oplus \Bigl( {[y]}_m \oplus {[z]}_m \Bigr) \\[0.5em] &= {[x]}_m \oplus {[y]}_m \oplus {[z]}_m \end{align*}

Wie üblich kann aufgrund der Assoziativität auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Die Assoziativität kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden. In den Schritten (1), (2), (4) und (5) wird die Definition der Addition von Restklassen verwendet. Die Gültigkeit von (3) folgt aus der Assoziativität der Addition von ganzen Zahlen.

\begin{align*} \bigl( {[x]}_m \oplus {[y]}_m \bigr) \oplus {[z]}_m &\overset{(1)}{=} {[x+y]}_m \oplus {[z]}_m \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {[(x+y)+z]}_m \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {[x+(y+z)]}_m \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {[x]}_m \oplus {[y+z]}_m \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {[x]}_m \oplus \bigl( {[y]}_m \oplus {[z]}_m \bigr) \end{align*}

Kommutativität

Die Addition von Restklassen modulo \(m\) ist kommutativ.

{[x]}_m \oplus {[y]}_m = {[y]}_m \oplus {[x]}_m

Die Kommutativität kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden. In den Schritten (1) und (3) wird die Definition der Addition von Restklassen verwendet. Die Gültigkeit von (2) folgt aus der Kommutativität der Addition von ganzen Zahlen.

\begin{align*} {[x]}_m \oplus {[y]}_m &\overset{(1)}{=} {[x+y]}_m \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {[y+x]}_m \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {[y]}_m \oplus {[x]}_m \end{align*}

Distributivität

Für die Addition und die Multiplikation von Restklassen modulo \(m\) gilt das Distributivgesetz.

{[x]}_m \odot \Bigl( {[y]}_m \oplus {[z]}_m \Bigr) = {[x]}_m \odot {[y]}_m \oplus {[x]}_m \odot {[z]}_m

Die Distributivität kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden. In den Schritten (1) und (4) wird die Definition der Addition von Restklassen verwendet. In den Schritten (2) und (5) wird die Definition der Multiplikation von Restklassen verwendet. Die Gültigkeit von (3) folgt aus der Distributivität der Addition/Multiplikation von ganzen Zahlen.

\begin{align*} {[x]}_m \odot \bigl( {[y]}_m \oplus {[z]}_m \bigr) &\overset{(1)}{=} {[x]}_m \odot {[y+z]}_m \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {[x \cdot (y+z)]}_m \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {[x \cdot y + x \cdot z]}_m \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {[x \cdot y]}_m \oplus {[x \cdot z]}_m \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {[x]}_m \odot {[y]}_m \oplus {[x}]_m \odot {[z]}_m \end{align*}

Neutrales Element

Beim Element \({[0]}_m\) handelt es sich um das neutrale Element der Addition. Für alle \({[x]}_m \in \Z_m\) gilt:

{[0]}_m \oplus {[x]}_m = {[x]}_m = {[x]}_m \oplus {[0]}_m.

Dies kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden. In den Schritten (1) und (4) wird die Definition der Addition von Restklassen verwendet. Die Gültigkeit von (2) und (3) folgt aus der Tatsache, dass es sich bei \(0\) um das neutrale Element der Addition von ganzen Zahlen handelt.

\begin{align*} {[0]}_m \oplus {[x]}_m &\overset{(1)}{=} {[0+x]}_m \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {[x]}_m \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {[x+0]}_m \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {[x]}_m \oplus {[0]}_m \end{align*}

Inverse Elemente

Für jedes Element \({[x]}_m \in \Z_m\) existiert stets ein additives Inverses \({[-x]}_m \in \Z_m\). Es gilt:

{[x]}_m \oplus {[-x]}_m = {[0]}_m = {[-x]}_m \oplus {[x]}_m.

Dies kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden. In den Schritten (1) und (4) wird die Definition der Addition von Restklassen verwendet. Die Gültigkeit von (2) und (3) folgt aus der Tatsache, dass es sich bei der ganzen Zahl \(-x\) um das additive Inverse der ganzen Zahl \(x\) handelt.

\begin{align*} {[x]}_m \oplus {[-x]}_m &\overset{(1)}{=} {[x+(-x)]}_m \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {[0]}_m \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {[(-x)+x]}_m \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {[-x]}_m \oplus {[x]}_m \end{align*}