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Wurzelgesetz II-a: Multiplikation von Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten

Bei Wurzelgesetz II-a handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie das Produkt von Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten berechnet werden kann.

Definition

Das Produkt von zwei Wurzeln $\sqrt[m]{a}$ und $\sqrt[n]{a}$ mit demselben Radikanden $a$ kann berechnet werden, indem die Wurzelexponenten $m$ und $n$ multipliziert werden und der Radikand $a$ mit der Summe der Wurzelexponenten potenziert wird. Es gilt:

\[ \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = \sqrt[m \cdot n]{a^{n+m}}\ . \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Wurzeln berechnet.

\begin{align*} \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} &= \sqrt[2 \cdot 3]{a^{3+2}} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{a^5} \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Wurzeln ganzer Zahlen berechnet.

\begin{align*} \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{2} &= \sqrt[3 \cdot 2]{2^{2+3}} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{2^5} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{32} \end{align*}

Beweis

Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$ mit $a \geq 0$ sowie zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$. Es gilt:

\begin{align*} \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} &\overset{(1)}{=} a^{\frac{1}{m}} \cdot a^{\frac{1}{n}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a^{\frac{n+m}{m \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[m \cdot n]{a^{n+m}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Umschreiben der Potenz als Wurzel