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Multiplikation von ungleichnamigen Wurzeln (Wurzelgesetz II-a)

Bei Wurzelgesetz II-a zur Multiplikation von ungleichnamigen Wurzeln handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie das Produkt von ungleichnamigen Wurzeln, also von Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten, die denselben Radikanden haben, zu einer Wurzel zusammengefasst werden kann.

Hinweis: Produkte von gleichnamigen Wurzeln, also Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten, können mit Wurzelgesetz I-a zusammengefasst werden. Produkte von ungleichnamigen Wurzeln mit verschiedenen Radikanden können mithilfe von Wurzelgesetz V gleichnamig gemacht werden.

Definition

Produkt von zwei ungleichnamigen Wurzeln

Für eine reelle Zahl $x \in \R$ und zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ kann das Produkt von ungleichnamigen Wurzeln $\sqrt[m]{x}$ und $\sqrt[n]{x}$ mit demselben Radikanden $x$ zu einer Wurzel zusammengefasst werden, indem die beiden Wurzelexponenten multipliziert werden und der Radikand mit der Summe der Wurzelexponenten potenziert wird. Es gilt:

\[ \sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[m \cdot n]{x^{n+m}}. \]

In Worten: Das Produkt zweier ungleichnamiger Wurzeln mit demselben Radikanden entspricht der Wurzel, deren Wurzelexponent das Produkt der beiden ursprünglichen Wurzelexponenten ist, und deren Radikand mit der Summe der beiden Wurzelexponenten potenziert wird.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die zusammengefasste Wurzel kann also auch zu einem Produkt von zwei ungleichnamigen Wurzeln umgeformt werden.

Die Rechenregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für nichtnegative reelle Radikanden $x \in \R$ und beliebige natürliche Wurzelexponenten $m,n \in \N$;
  • für beliebige reelle Radikanden $x \in \R$ und ungerade natürliche Wurzelexponenten $m,n \in \N$.

Produkt von mehreren ungleichnamigen Wurzeln

Die Rechenregel für das Produkt von ungleichnamigen Wurzeln mit demselben Radikanden kann prinzipiell auf mehr als zwei Faktoren erweitert werden, jedoch wird die resultierende Formel mit steigender Anzahl an Faktoren immer unhandlicher, sodass ein wiederholtes Anwenden der Formel für zwei Faktoren zumeist sinnvoller ist.

Für das Produkt von drei ungleichnamigen Wurzeln mit demselben Radikanden gilt exemplarisch:

\[ \sqrt[n_1]{x} \cdot \sqrt[n_2]{x} \cdot \sqrt[n_3]{x} = \sqrt[n_1 \cdot n_2 \cdot n_3]{x^{n_1n_2 + n_1n_3 + n_2n_3}}. \]

Für eine reelle Zahl $x \in \R$ sowie insgesamt $k$ ungleichnamige Wurzeln $\sqrt[n_1]{x}, \ldots, \sqrt[n_k]{x}$ gilt allgemein:

\begin{align*} \prod_{i=1}^{k} \sqrt[n_i]{x} &= \sqrt[n]{x^m} \\[1em] \text{mit}\ \ n &= \prod_{i=1}^{k}{n_i} \\[0.5em] m &= \sum_{i=1}^{k}{ \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{k}{n_j}} \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei ungleichnamigen Wurzeln derselben Variable $a \geq 0$ berechnet.

\begin{align*} \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} &= \sqrt[2 \cdot 3]{a^{3+2}} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{a^5} \end{align*}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel zeigt das Produkt von zwei Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten für denselben ganzzahligen Radikanden.

\begin{align*} \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2} &= \sqrt[3 \cdot 4]{2^{3+4}} \\[0.5em] &= \sqrt[12]{2^7} \\[0.5em] &= \sqrt[12]{128} \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird Wurzelgesetz II-a verwendet, um ein Produkt von zwei ungleichnamigen Wurzeln zusammenzufassen und stark zu vereinfachen.

\begin{align*} \sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[6]{16} &= \sqrt[3 \cdot 6]{16^{6+3}} \\[0.5em] &= \sqrt[18]{16^9} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} \sqrt{16} \\[0.5em] &= 4 \end{align*}

Im vorletzten Schritt wurde Wurzelgesetz V verwendet, um den Wurzelexponenten und den Exponenten der Potenz unter der Wurzel zu vereinfachen.

Beweis

Beweis des Wurzelgesetzes

Das Wurzelgesetz für das Produkt von zwei ungleichnamigen Wurzeln kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$ sowie zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$. Es sei vorausgesetzt, dass die Wurzeln $\sqrt[m]{x}$ und $\sqrt[n]{x}$ definiert sind – dass also entweder $x \geq 0$ gilt oder dass $m$ und $n$ ungerade sind.

Das Wurzelgesetz wird ausgehend vom Produkt zweier ungleichnamiger Wurzeln hergeleitet. Es gilt:

\begin{align*} \sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[n]{x} &\overset{(1)}{=} x^{\frac{1}{m}} \cdot x^{\frac{1}{n}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} x^{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} x^{\frac{n+m}{m \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[m \cdot n]{x^{n+m}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Umschreiben der Potenz als Wurzel mithilfe von Wurzelgesetz VI

Beweis des Wurzelgesetzes (allgemein)

Der Beweis erfolgt analog zum Fall mit zwei Faktoren, indem alle Wurzeln zunächst als Potenzen mit rationalen Exponenten geschrieben und deren Exponenten gemäß Potenzgesetz I-a anschließend aufsummiert werden.