Wurzelgesetz II-b: Division von Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten
Bei Wurzelgesetz II-b handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Quotient von Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten berechnet werden kann.
Definition
Der Quotient von zwei Wurzeln \(\sqrt[m]{a}\) und \(\sqrt[n]{a}\) mit demselben Radikanden \(a\) kann berechnet werden, indem die Wurzelexponenten \(m\) und \(n\) multipliziert werden und der Radikand $a$ mit der Differenz der Wurzelexponenten potenziert wird. Es gilt:
Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:
- für positive reelle Zahlen $a \gt 0$ und natürliche Zahlen $m,n$;
- für beliebige reelle Zahlen $a$ mit $a \neq 0$ und ungerade natürliche Zahlen $m,n$.
Beispiele
Beispiel 1
Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Wurzeln berechnet.
Beispiel 2
Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Wurzeln ganzer Zahlen berechnet.
Beweis
Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl \(a \in \R\) mit \(a \gt 0\) sowie zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\). Es gilt:
Erklärungen zu den Schritten | |
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