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Division von ungleichnamigen Wurzeln (Wurzelgesetz II-b)

Bei Wurzelgesetz II-b zur Division von ungleichnamigen Wurzeln handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie der Quotient von ungleichnamigen Wurzeln, also von Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten, die denselben Radikanden haben, zu einer Wurzel zusammengefasst werden kann.

Hinweis: Quotienten von gleichnamigen Wurzeln, also Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten, können mit Wurzelgesetz I-b zusammengefasst werden. Quotienten von ungleichnamigen Wurzeln mit verschiedenen Radikanden können mithilfe von Wurzelgesetz V gleichnamig gemacht werden.

Definition

Für eine reelle Zahl $x \in \R$ und zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ kann der Quotient von ungleichnamigen Wurzeln $\sqrt[m]{x}$ und $\sqrt[n]{x}$ mit demselben Radikanden $x$ zu einer Wurzel zusammengefasst werden, indem die beiden Wurzelexponenten multipliziert werden und der Radikand mit der Differenz der Wurzelexponenten potenziert wird. Es gilt:

\[ \frac{\sqrt[m]{x}}{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x^{n-m}}. \]

In Worten: Der Quotient zweier ungleichnamiger Wurzeln mit demselben Radikanden entspricht der Wurzel, deren Wurzelexponent das Produkt der beiden ursprünglichen Wurzelexponenten ist, und deren Radikand mit der Differenz der beiden Wurzelexponenten potenziert wird, wobei der Wurzelexponent des Zählers vom Wurzelexponenten des Nenners abgezogen wird.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die zusammengefasste Wurzel kann also auch zu einem Quotienten von zwei ungleichnamigen Wurzeln umgeformt werden.

Die Rechenregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für positive reelle Radikanden $x \in \R$ und beliebige natürliche Wurzelexponenten $m,n \in \N$;
  • für beliebige reelle Radikanden $x \in \R$ mit $x \neq 0$ und ungerade natürliche Wurzelexponenten $m,n \in \N$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei ungleichnamigen Wurzeln derselben Variable $a \gt 0$ berechnet.

\begin{align*} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a}} &= \sqrt[2 \cdot 3]{a^{3-2}} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{a} \end{align*}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel zeigt den Quotienten von zwei Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten für denselben ganzzahligen Radikanden.

\begin{align*} \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[5]{5}} &= \sqrt[3 \cdot 5]{5^{5-3}} \\[0.5em] &= \sqrt[15]{5^2} \\[0.5em] &= \sqrt[15]{25} \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird Wurzelgesetz II-b verwendet, um einen Quotienten von zwei ungleichnamigen Wurzeln zusammenzufassen und stark zu vereinfachen.

\begin{align*} \frac{\sqrt{8}}{\sqrt[6]{8}} &= \sqrt[2 \cdot 6]{8^{6-2}} \\[0.5em] &= \sqrt[12]{8^4} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} \sqrt[3]{8} \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Im vorletzten Schritt wurde Wurzelgesetz V verwendet, um den Wurzelexponenten und den Exponenten der Potenz unter der Wurzel zu vereinfachen.

Beweis des Wurzelgesetzes

Das Wurzelgesetz für den Quotienten von zwei ungleichnamigen Wurzeln kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$ sowie zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$. Es sei vorausgesetzt, dass die Wurzeln $\sqrt[m]{x}$ und $\sqrt[n]{x}$ definiert sind und keine Division durch 0 auftritt – dass also entweder $x \gt 0$ gilt oder dass $m$ und $n$ ungerade sind und $x \neq 0$ gilt.

Das Wurzelgesetz wird ausgehend vom Quotienten zweier ungleichnamiger Wurzeln hergeleitet. Es gilt:

\begin{align*} \frac{\sqrt[m]{x}}{\sqrt[n]{x}} &\overset{(1)}{=} \frac{x^{\frac{1}{m}}}{x^{\frac{1}{n}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} x^{\frac{1}{m} - \frac{1}{n}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} x^{\frac{n-m}{m \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[m \cdot n]{x^{n-m}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Umschreiben der Potenz als Wurzel mithilfe von Wurzelgesetz VI