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Wurzelgesetz II-b: Division von Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten

Bei Wurzelgesetz II-b handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Quotient von Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten berechnet werden kann.

Definition

Der Quotient von zwei Wurzeln $\sqrt[m]{a}$ und $\sqrt[n]{a}$ mit demselben Radikanden $a$ kann berechnet werden, indem die Wurzelexponenten $m$ und $n$ multipliziert werden und der Radikand $a$ mit der Differenz der Wurzelexponenten potenziert wird. Es gilt:

\[ \frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a^{n-m}}\ . \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für positive reelle Zahlen $a \gt 0$ und natürliche Zahlen $m,n$;
  • für beliebige reelle Zahlen $a$ mit $a \neq 0$ und ungerade natürliche Zahlen $m,n$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Wurzeln berechnet.

\begin{align*} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a}} &= \sqrt[2 \cdot 3]{a^{3-2}} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{a} \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Wurzeln ganzer Zahlen berechnet.

\begin{align*} \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[5]{5}} &= \sqrt[3 \cdot 5]{5^{5-3}} \\[0.5em] &= \sqrt[15]{5^2} \\[0.5em] &= \sqrt[15]{25} \end{align*}

Beweis

Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$ mit $a \gt 0$ sowie zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$. Es gilt:

\begin{align*} \frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}} &\overset{(1)}{=} \frac{a^{\frac{1}{m}}}{a^{\frac{1}{n}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^{\frac{1}{m} - \frac{1}{n}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a^{\frac{n-m}{m \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[m \cdot n]{a^{n-m}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Umschreiben der Potenz als Wurzel