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Potenz einer Wurzel (Wurzelgesetz IV)

Bei Wurzelgesetz IV zur Potenz einer Wurzel bzw. zur Wurzel einer Potenz (auch Potenzieren einer Wurzel) handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie Potenzen von Wurzeln zur Wurzel einer Potenz umgeformt werden können.

Definition

Für eine reelle Zahl $x \in \R$, eine natürliche Zahl $n \in \N$ und eine ganze Zahl $m \in \Z$ kann die Potenz einer Wurzel berechnet werden, indem der Radikand potenziert und anschließend die Wurzel aus der Potenz gezogen wird. Es gilt:

{\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^m = \sqrt[n]{x^m}.

In Worten: Die Potenz einer Wurzel entspricht der Wurzel der Potenz.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die Wurzel der Potenz kann also wieder zur Potenz der Wurzel umgeformt werden.

Die Rechenregel zum Potenzieren von Wurzeln kann für beliebige ganze Zahlen $m \in \Z$ in den folgenden Fällen angewendet werden:

für nichtnegative reelle Radikanden $x \in \R$ (mit $x \neq 0$ für $m \lt 0$) und beliebige natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$;
für beliebige reelle Radikanden $x \in \R$ (mit $x \neq 0$ für $m \lt 0$) und ungerade natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Potenz der Kubikwurzel einer Variablen $a$ berechnet.

\begin{align*} {\bigl( \sqrt[3]{a} \bigr)}^6 &= \sqrt[3]{a^6} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} a^2 \end{align*}

Im zweiten Schritt wurde Wurzelgesetz V verwendet, um den Wurzelexponenten und den Exponenten der Potenz unter der Wurzel zu vereinfachen.

Beispiel 2

Das zweite Beispiel zeigt die Berechnung einer Potenz der Quadratwurzel einer ganzen Zahl.

\begin{align*} {\bigl( \sqrt{3} \bigr)}^4 &= \sqrt{3^4} \\[0.5em] &= \sqrt{81} \\[0.5em] &= 9 \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird die Wurzel einer Potenz umgeschrieben, damit diese leichter berechnet werden kann.

\begin{align*} \sqrt[10]{1024^3} &= {\bigl( \sqrt[10]{1024} \bigr)}^3 \\[0.5em] &= 2^3 \\[0.5em] &= 8 \end{align*}

Beweis des Wurzelgesetzes

Das Wurzelgesetz für Potenzen von Wurzeln kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$, eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie eine ganze Zahl $m \in \Z$. Es sei vorausgesetzt, dass die Wurzel definiert ist – dass also entweder $x \geq 0$ gilt oder dass $n$ ungerade ist. Für $m \lt 0$ gelte außerdem $x \neq 0$.

Das Wurzelgesetz wird ausgehend von der Wurzel einer Potenz hergeleitet. Zunächst wird hierzu der Term $ {\left( \sqrt[n]{x^m} \right)}^n$ betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\bigl( \sqrt[n]{x^m} \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} x^m \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl( {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^n \Bigr)}^m \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl( {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^m \Bigr)}^n \\[1.5em] \implies \sqrt[n]{{\bigl( \sqrt[n]{x^m} \bigr)}^n} &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{{\Bigl( {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^m \Bigr)}^n} \\[0.5em] \implies \sqrt[n]{x^m} &\overset{(5)}{=} {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^m \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ausrechnen von $ {\bigl( \sqrt[n]{\unicode{x2B1A}} \bigr)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
(2)	Ersetzen von $x$ mit $ {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
(3)	Vertauschen der Exponenten $m$ und $n$ mithilfe von Potenzgesetz III für ganzzahlige Exponenten
(4)	Ziehen der $n$-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung
(5)	Ausrechnen von $\sqrt[n]{\unicode{x2B1A}^{n}}$ mithilfe der Definition der Wurzel