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Wurzelgesetz IV: Potenzieren von Wurzeln
Bei Wurzelgesetz IV handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie die Potenz einer Wurzel berechnet werden kann.
Definition
Die Potenz einer Wurzel kann berechnet werden, indem die Potenz in die Wurzel gezogen und der Radikand potenziert wird. Es gilt:
\[ {\left( \sqrt[m]{a} \right)}^n = \sqrt[m]{a^n}. \]
Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:
- für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$ und natürliche Zahlen $n$;
- für beliebige reelle Zahlen $a$ und ungerade natürliche Zahlen $n$.
Beispiele
Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Potenz einer Wurzel berechnet.
\begin{align*} {\left( \sqrt[3]{a^2} \right)}^6 &= \sqrt[3]{{\left( a^2 \right)}^6} \\[0.5em] &= \sqrt[3]{a^{12}} \\[0.5em] &= a^4 \end{align*}
Beispiel 2
Im zweiten Beispiel wird exemplarisch die Potenz einer Wurzel einer ganzen Zahl berechnet.
\begin{align*} {\left( \sqrt{3} \right)}^4 &= \sqrt{3^4} \\[0.5em] &= \sqrt{81} \\[0.5em] &= 9 \end{align*}
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Beweis
Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl \(a \in \R\) mit \(a \geq 0\) sowie zwei natürliche Zahlen \(n,m \in \N\). Zunächst wird der Term \({\left( \sqrt[m]{a^n} \right)}^m\) betrachtet und umgeformt. Es gilt:
\begin{align*} {\left( \sqrt[m]{a^n} \right)}^m &\overset{(1)}{=} a^n \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\left( {\left( \sqrt[m]{a} \right)}^m \right)}^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\left( {\left( \sqrt[m]{a} \right)}^n \right)}^m \\[0.75em] \Rightarrow\ \sqrt[m]{a^n} &\overset{(4)}{=} {\left( \sqrt[m]{a} \right)}^n \end{align*}
| Erklärungen zu den Schritten | |
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