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Wurzel (Ableitungsregel) Die Ableitungsregel der Wurzelfunktion kann durch Umschreiben der Wurzel als Potenz hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.
Ableitungsregel Die Ableitung der Wurzelfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ wie folgt definiert:
\begin{align*} {\Bigl[ \sqrt{x} \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sqrt{x} \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\[0.75em] &= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \end{align*}
Die Ableitung der Wurzelfunktion mit beliebigem Wurzelexponenten $n \in \N$ und $n \geq 2$ ist für gerade $n$ für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ und für ungerade $n$ für alle $x \in \R$ wie folgt definiert:
\begin{align*} {\Bigl[ \sqrt[n]{x} \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sqrt[n]{x} \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1} \\[0.75em] &= \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} \end{align*}
Herleitung der Ableitungsregel Die Herleitung der Ableitungsregel der Wurzelfunktion kann durch das Umschreiben der Wurzel als Potenz und anschließendes Anwenden der Ableitungsregel der Potenzfunktion erfolgen. Es gilt:
\begin{align} {\Bigl[ \sqrt{x} \Bigr]}' &\overset{(1)}{=} {\left[ x^{\frac{1}{2}} \right]}' \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \end{align}
Erklärungen zu den Schritten (1) (2) (3) Ausrechnen/Zusammenfassen des Exponenten (4) (5) Umschreiben der Potenz als Wurzel
Herleitung der Ableitungsregel für beliebige Wurzelexponenten Die Herleitung der Ableitungsregel der Wurzelfunktion für beliebige Wurzelexponenten kann – analog zum vorausgehenden Fall der Quadratwurzel – durch das Umschreiben der Wurzel als Potenz und anschließendes Anwenden der Ableitungsregel der Potenzfunktion erfolgen. Es gilt:
\begin{align} {\Bigl[ \sqrt[n]{x} \Bigr]}' &\overset{(1)}{=} {\left[ x^{\frac{1}{n}} \right]}' \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1-n}{n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{n} \cdot x^{-\frac{n-1}{n}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{n \cdot x^{\frac{n-1}{n}}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} \end{align}
Erklärungen zu den Schritten (1) Umschreiben der Wurzel als Potenz (2) Anwenden der Ableitungsregel der Potenzfunktion (3) Ausrechnen/Zusammenfassen des Exponenten (4) Ausklammern des Faktors $-1$ aus dem Exponenten (5) Umschreiben der Potenz gemäß der Definition von Potenzen mit negativem Exponenten Zusammenfassen (6) Umschreiben der Potenz als Wurzel
Beispiele Beispiel 1 Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Wurzelfunktion bestimmt werden soll:
\[ f(x) = \sqrt{5x+1} \]
Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:
\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \sqrt{5x+1} \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{5x+1}} \cdot \Bigl[ 5x+1 \Bigr]' \\[0.75em] &= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{5x+1}} \cdot 5 \\[0.75em] &= \frac{5}{2 \cdot \sqrt{5x+1}} \end{align*}
Beispiel 2 Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Wurzelfunktion bestimmt werden soll:
\[ g(x) = \sqrt[3]{x^5} \]
Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:
\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \sqrt[3]{x^5} \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{{(x^5)}^2}} \cdot {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{10}}} \cdot 5x^4 \\[0.75em] &= \frac{5x^4}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{10}}} \\[0.75em] &= \frac{5}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}} \end{align*}
