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Wurzelfunktion

Die Wurzelfunktion ist eine wichtige elementare mathematische Funktion, die in vielen Bereichen der Mathematik, in den Naturwissenschaften und in der Technik von Bedeutung ist. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion (mit natürlichen Exponenten) und kann verwendet werden, um die Wurzel eines Werts zu bestimmen – also den Wert, der mit einem festen Exponenten potenziert werden muss, um den ursprünglichen Wert zu erhalten.

Definition

Bei der Wurzelfunktion (geschrieben: $\sqrt{\phantom{\ }}$, $\sqrt[n]{\phantom{\ }}$) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Potenzfunktion $x^n$ mit einem natürlichen Exponenten $n$. Sie ordnet einer reellen Zahl denjenigen Wert zu, dessen $n$-te Potenz wieder dem ursprünglichen Wert entspricht.

Die Wurzelfunktion kann wie folgt formal definiert werden (mit $x \in \R$, $n \in \N$ und $n \gt 1$):

\sqrt[n]{x} = y \quad\Leftrightarrow\quad y^n = x.

Hierbei gilt:

Für gerade Wurzelexponenten $n$ muss $x \geq 0$ gelten, da gerade Wurzeln für negative Werte nicht definiert sind.
Für ungerade Wurzelexponenten $n$ ist die Wurzel für alle $x \in \R$ definiert.

Zusammengefasst: Die Wurzelfunktion $\sqrt[n]{x}$ gibt die Basis $y$ an, die mit dem Exponenten $n$ potenziert werden muss, um $x$ zu erhalten.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Wurzelfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

	gerade Wurzelexponenten	ungerade Wurzelexponenten
Definitionsbereich	$0 \leq x \lt \infty$	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \leq \sqrt[n]{x} \lt \infty$	$-\infty \lt \sqrt[n]{x} \lt \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton steigend
Krümmung	streng konkav	streng konvex für $x \lt 0$ streng konkav für $x \gt 0$
Symmetrien	keine	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Asymptoten	keine	keine
Nullstellen	$x_0=0$	$x_0=0$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extremstellen	keine	keine
Wendepunkte	keine	Wendepunkt bei $x_0=0$

Ableitung

Hauptartikel: Wurzel (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Wurzelfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \sqrt{x} \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sqrt{x} \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\[0.75em] &= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \end{align*}

Die Ableitung der Wurzelfunktion mit beliebigem Wurzelexponenten $n \in \N$ und $n \geq 2$ ist für gerade $n$ für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ und für ungerade $n$ für alle $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \sqrt[n]{x} \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sqrt[n]{x} \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1} \\[0.75em] &= \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Wurzel (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion lautet:

\begin{align*} \int{\sqrt{x}\ dx} &= \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^3} + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + \mathcal{C} \end{align*}

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion mit beliebigem Wurzelexponenten lautet:

\begin{align*} \int{\sqrt[n]{x}\ dx} &= \frac{n}{n+1} \cdot \sqrt[n]{x^{n+1}} + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \frac{n}{n+1} \cdot x^{\frac{n+1}{n}} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Wurzel (Reihenentwicklung)

Die Wurzelfunktion besitzt die folgende Reihenentwicklung (für $|x| \leq 1$):

\begin{align*} \sqrt{1+x} &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k} \cdot \frac{{(-1)}^{k+1}}{(2k-1) \cdot 4^k} \cdot x^k} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^{k+1} \cdot (2k)!}{(2k-1) \cdot {(k!)}^2 \cdot 4^k} \cdot x^k} \\[0.75em] &= 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \ldots \end{align*}