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Halbgruppe (Algebra)

Bei einer Halbgruppe handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung besteht, für die das Assoziativgesetz gilt.

Inhalt

Definitionen
Eigenschaften
Beispiele

Definitionen

Halbgruppe

Bei einer Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Trägermenge $H$ und einer auf dieser Menge definierten inneren zweistelligen Verknüpfung $\star: H \times H \rightarrow H$ besteht, für die die folgenden Eigenschaften gelten:

Die Trägermenge $H$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen: $\forall a,b \in H: a \star b \in H.$
Die Verknüpfung $\star$ ist assoziativ: $\forall a,b,c \in H: \bigl( a \star b \bigr) \star c = a \star \bigl( b \star c \bigr) = a \star b \star c.$

Kommutative bzw. abelsche Halbgruppe

Eine Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ wird kommutative bzw. abelsche Halbgruppe genannt, falls über die üblichen Halbgruppeneigenschaften hinaus zusätzlich die folgende Eigenschaft gilt:

Die Verknüpfung $\star$ ist kommutativ: $\forall a,b \in H: a \star b = b \star a.$

Leere bzw. triviale Halbgruppe

Es ist für eine Halbgruppe nicht vorausgesetzt, dass die Trägermenge $H$ nichtleer ist. Die leere Menge $\emptyset$ bildet gemeinsam mit der leeren Verknüpfung $\emptyset \times \emptyset \rightarrow \emptyset$ die leere bzw. triviale Halbgruppe $(\emptyset, \times)$.

Unterhalbgruppe

Seien $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ eine Halbgruppe und $U \subseteq H$ eine Teilmenge der Trägermenge $H$. Es handelt sich bei $\mathcal{U} = \bigl( U,\star \bigr)$ um eine Unterhalbgruppe von $\mathcal{H}$, falls es sich bei $\mathcal{U}$ ebenfalls um eine Halbgruppe handelt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die folgende Eigenschaft gilt:

Die Trägermenge $U$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen: $\forall a,b \in U: a \star b \in U.$

Hinweis: Die Assoziativität der Verknüpfung $\star$ für die Elemente aus $U$ gilt implizit aufgrund der Assoziativität in $\mathcal{H}$ und muss nicht separat überprüft werden.

Die Halbgruppe $\mathcal{H}$ wird Oberhalbgruppe von $\mathcal{U}$ genannt.

Halbgruppenhomomorphismus

Hauptartikel: Halbgruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $\varphi: H_1 \rightarrow H_2$ zwischen den Trägermengen zweier Halbgruppen $\mathcal{H}_1 = \bigl( H_1, \star \bigr)$ und $\mathcal{H}_2 = \bigl( H_2, \diamond \bigr)$ wird Halbgruppenhomomorphismus genannt, falls die folgende Eigenschaft gilt:

Die Abbildung $\varphi$ ist strukturerhaltend: $\forall a,b \in H_1: \varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b).$

Notation

Multiplikativ geschriebene Halbgruppe
Oftmals wird anstelle der Verknüpfung $\star$ der gewöhnliche Malpunkt $\cdot$ verwendet. Es handelt sich in diesem Fall um eine multiplikativ geschriebene Halbgruppe. Wie bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann der Malpunkt oftmals weggelassen werden.

Additiv geschriebene Halbgruppe
Gelegentlich wird anstelle der Verknüpfung $\star$ das gewöhnliche Pluszeichen $+$ verwendet. Es handelt sich in diesem Fall um eine additiv geschriebene Halbgruppe.

Eigenschaften

Idempotenz

Ein Element $a \in H$ einer Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ heißt idempotent (aus dem lateinischen für gleiche Potenz), falls gilt:

a \star a = a.

Eine Halbgruppe heißt idempotente Halbgruppe oder Band, falls alle Elemente der Halbgruppe idempotent sind.

Kürzbarkeit

Ein Element $k \in H$ einer Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ heißt linkskürzbar, falls für alle $a,b \in H$ stets gilt:

k \star a = k \star b \Rightarrow a = b.

Analog heißt ein Element $k \in H$ einer Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ rechtskürzbar, falls für alle $a,b \in H$ stets gilt:

a \star k = b \star k \Rightarrow a = b.

Ist ein Element sowohl links- als auch rechtskürzbar, so heißt es beidseitig kürzbar oder einfach nur kürzbar. Eine Halbgruppe heißt linkskürzbar, rechtskürzbar bzw. kürzbar, falls jedes Element der Halbgruppe linkskürzbar, rechtskürzbar oder kürzbar ist. Bei einer endlichen, kürzbaren Halbgruppe handelt es sich stets um eine Gruppe.

Neutrales Element

Ein Element $e \in H$ einer Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ heißt linksneutral, falls für alle $a \in H$ gilt:

e \star a = a.

Ein linksneutrales Element ist stets idempotent und linkskürzbar; es gilt

\begin{array}{c} e \star e = e \\[0.5em] e \star a = e \star b \Rightarrow a = e \star a = e \star b = b. \end{array}

Analog heißt ein Element $e \in H$ einer Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ rechtsneutral (und ist idempotent und rechtskürzbar), falls für alle $a \in H$ gilt:

a \star e = a.

Existieren in einer Halbgruppe sowohl links- als auch rechtsneutrale Elemente, so sind diese identisch und werden neutrales Element genannt. In einer Halbgruppe existiert maximal ein neutrales Element. Alternativ existieren entweder nur links- oder nur rechtsneutrale Elemente – oder auch keins von beidem. Eine Halbgruppe mit neutralem Element wird Monoid genannt.

Inverse Elemente

Existiert in einer Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ ein linksneutrales Element $e \in H$, so wird ein Element $a \in H$ linksinvertierbar genannt, falls es ein Element $i \in H$ mit

i \star a = e

gibt. Das Element $i$ wird Linksinverses von $\mathbf{a}$ genannt.

Analog heißt ein Element $a \in H$ rechtsinvertierbar und das Element $i \in H$ das Rechtsinverse von $\mathbf{a}$, falls gilt:

a \star i = e.

Linksinvertierbare Elemente sind stets linkskürzbar. (Hinweis: Rechtsinvertierbare Elemente sind analog stets rechtskürzbar). Sei $j \in H$ linksinvertierbar und $i \in H$ das zugehörige Linksinverse. Für $a,b \in H$ gilt dann

\begin{array}{l} j \star a = j \star b \\[0.5em] \quad\Rightarrow a = \underbrace{i \star j}_{=\ e} \star a = \underbrace{i \star j}_{=\ e} \star b = b. \end{array}

Sind alle Elemente linksinvertierbar, so ist jedes $j \in H$ auch rechtsinvertierbar. (Hinweis: Dies gilt umgekehrt analog.) Die Linksinvertierbarkeit aller Elemente garantiert die Existenz von Elementen $i,h \in H$ mit $i \star j = e$ und $h \star i = e$. Es folgt:

j \star i = e \star j \star i = \rlap{\underbrace{\phantom{h \star i}}_{=\ e}} h \star \overbrace{ i \star j}^{=\ e} \star i = h \star e \star i = h \star i = e.

Insbesondere gilt also $j \star i = e$; das Element $j$ ist folglich rechtsinvertierbar und $i$ das Rechtsinverse.

Sind alle Elemente links- und rechtsinvertierbar, so folgt außerdem, dass das linksneutrale Element $e$ ebenfalls rechtsneutral ist:

j \star e = \rlap{\underbrace{\phantom{j \star i}}_{=\ e}} j \star \overbrace{ i \star j}^{=\ e} = e \star j = j.

Bei $\mathcal{H}$ handelt es sich in diesem Fall um eine Gruppe.

Absorption

Ein Element $o \in H$ einer Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H, \star\bigr)$ heißt linksabsorbierend, falls für alle $a \in H$ gilt:

o \star a = o.

Analog heißt ein Element $o \in H$ rechtsabsorbierend, falls für alle $a \in H$ gilt:

a \star o = o.

Ein links- bzw. rechtsabsorbierendes Element ist stets idempotent. Ein sowohl links- als auch rechtsabsorbierendes Element heißt absorbierend. In einer Halbgruppe existiert höchstens ein absorbierendes Element, da aus der Annahme, $o_1$ und $o_2$ seien zwei absorbierende Elemente, unmittelbar $o_1 = o_1 \star o_2 = o_2$ folgt.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische Halbgruppen:

Die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null) bildet gemeinsam mit der Addition $+$ die kommutative Halbgruppe $(\N, +)$.
Generell gilt: Bei allen Monoiden und allen Gruppen handelt es sich um Halbgruppen.