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Untergruppe

Bei einer Untergruppe handelt es sich um eine Teilmenge einer Gruppe, bei der es sich selbst um eine Gruppe handelt.

Inhalt

Definitionen
Eigenschaften
Erzeugte Untergruppen
Beispiele

Definitionen

Untergruppe

Seien $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ eine Gruppe und $U \subseteq G$ eine nichtleere Teilmenge der Trägermenge $G$. Es handelt sich bei $\mathcal{U} = \bigl( U,\star\bigr)$ um eine Untergruppe von $\mathcal{G}$, falls es sich bei $\mathcal{U}$ ebenfalls um eine Gruppe handelt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

Die Trägermenge $U$ ist nichtleer: $U \neq \emptyset.$
Die Trägermenge $U$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen: $\forall a,b \in U: a \star b \in U.$
Die Trägermenge $U$ enthält die inversen Elemente: $\forall a \in U: a^{-1} \in U.$

Triviale Untergruppe

Für eine Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ handelt es sich sowohl bei $\bigl(\{e_{\star}\},\star\bigr)$ als auch bei $\mathcal{G}$ selbst stets um eine Untergruppe von $\mathcal{G}$. Diese werden als triviale Untergruppen bezeichnet.

Echte Untergruppe

Eine Untergruppe $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ wird echte Untergruppe genannt, falls $U \neq G$ gilt.

Eigenschaften

Neutrales Element

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$, dann handelt es sich beim neutralen Element $e_{\star}$ der Untergruppe $\mathcal{U}$ stets um das neutrale Element der Gruppe $\mathcal{G}$, da dieses bezüglich der Verknüpfung $\star$ eindeutig bestimmt ist.

Obwohl die Existenz des neutralen Elements (also die Eigenschaft $e_{\star} \in U$) nicht explizit gefordert wird, ist es in jeder Untergruppe stets enthalten. Aus der Eigenschaft $U \neq \emptyset$ folgt die Existenz eines (beliebigen) Elements $a \in U$. Da für jedes Element auch das inverse Element in der Untergruppe enthalten sein muss, folgt $a_{\star}^{-1} \in U$. Aus der Abgeschlossenheit bezüglich der Verknüpfung $\star$ folgt somit unmittelbar die Existenz des neutralen Elements; es gilt:

a \star a_{\star}^{-1} = e_{\star} \in U.

Schnitt von Untergruppen

Seien $\mathcal{U}_1 = \bigl(U_1,\star\bigr)$ und $\mathcal{U}_2 = \bigl(U_2,\star\bigr)$ zwei Untergruppen einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$; dann handelt es sich bei $\mathcal{U}_1 \cap \mathcal{U}_2 = \bigl(U_1 \cap U_2, \star\bigr)$ sowohl um eine Untergruppe von $\mathcal{U}_1$ als auch um eine Untergruppe von $\mathcal{U}_2$.

Die Schnittmenge $U_1 \cap U_2$ ist nichtleer; es gilt: $\begin{array}{l} e_{\star} \in U_1 \wedge e_{\star} \in U_2 \\[0.5em] \quad\Rightarrow e_{\star} \in U_1 \cap U_2 \\[0.5em] \quad\Rightarrow U_1 \cap U_2 \neq \emptyset. \end{array}$
Die Schnittmenge $U_1 \cap U_2$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen; es gilt: $\begin{array}{l} a,b \in U_1 \cap U_2 \\[0.5em] \quad\Rightarrow a,b \in U_1 \wedge a,b \in U_2 \\[0.5em] \quad\Rightarrow a \star b \in U_1 \wedge a \star b \in U_2 \\[0.5em] \quad\Rightarrow a \star b \in U_1 \cap U_2. \end{array}$
Die Schnittmenge $U_1 \cap U_2$ enthält die inversen Elemente; es gilt: $\begin{array}{l} a \in U_1 \cap U_2 \\[0.5em] \quad\Rightarrow a \in U_1 \wedge a \in U_2 \\[0.5em] \quad\Rightarrow a_{\star}^{-1} \in U_1 \wedge a_{\star}^{-1} \in U_2 \\[0.5em] \quad\Rightarrow a_{\star}^{-1} \in U_1 \cap U_2. \end{array}$

Analog handelt es sich beim Schnitt $\mathcal{U}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{U}_n$ von mehr als zwei Untergruppen jeweils um eine Untergruppe von $\mathcal{U}_1, \ldots, \mathcal{U}_n$.

Transitivität

Es handelt sich bei der Untergruppenbeziehung um eine transitive Relation: Ist $\mathcal{V}$ eine Untergruppe von $\mathcal{U}$ und ist $\mathcal{U}$ eine Untergruppe von $\mathcal{G}$, so ist auch $\mathcal{V}$ eine Untergruppe von $\mathcal{G}$.

Ordnung und Satz von Lagrange

Hauptartikel: Satz von Lagrange

Nach dem Satz von Lagrange handelt es sich bei der Ordnung einer Untergruppe $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ stets um einen Teiler der Ordnung der Obergruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$, d. h., es gilt:

|U| \mid |G|.

Hierbei handelt es sich um eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Untergruppe einer bestimmten Ordnung. Untergruppen, bei deren Ordnung es sich nicht um einen Teiler der Ordnung der Obergruppe handelt, können somit nicht existieren. Umgekehrt garantiert der Satz von Lagrange allerdings nicht, dass Untergruppen einer bestimmten Ordnung tatsächlich existieren; die Bedingung ist nicht hinreichend. Beispielsweise besitzt die alternierende Gruppe $\mathcal{A}_4$ keine Untergruppe der Ordnung 6, obwohl dies ein Teiler der Gruppenordnung $|\mathcal{A}_4| = 12$ ist.

Handelt es sich bei der Ordnung einer Gruppe um eine Primzahl $p$, so können laut Satz von Lagrange nur Untergruppen der Ordnungen $1$ oder $p$ existieren – dies sind die trivialen Untergruppen.

Nebenklassen

Hauptartikel: Nebenklassen

Mithilfe der Untergruppe $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ lässt sich auf der Menge $G$ die folgende Relation $\sim$ definieren, bei der es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, deren Faktormenge eine Partition der Menge $G$ darstellt:

a \sim b \ \Leftrightarrow\quad \ u \in U:\ b = a \star u.

Für ein gegebenes Element $a \in G$ handelt es sich bei

\Bigl\{ b \in G \mid a \sim b \Bigr\} = \Bigl\{ a \star u \mid u \in U \Bigr\}

um die Menge aller Elemente $b$, die in Relation mit dem Element $a$ stehen – also um die Äquivalenzklasse der Relation $\sim$, die das Element $a$ enthält. Diese wird Nebenklasse von $a$ genannt und enthält alle Elemente aus $G$, die entstehen, indem die Elemente aus $U$ von links mit dem Element $a$ verknüpft werden. Sie wird als $a \star U$ oder als $aU$ geschrieben und Linksnebenklasse genannt.

Analog werden die Rechtsnebenklassen $U \star a$ bzw. $Ua$ definiert.

Handelt es sich bei $\star$ um eine kommutative Verknüpfung, so stimmen die Links- und Rechtsnebenklassen überein, d. h. $aU=Ua$. Für nichtkommutative Verknüpfungen stimmen die Links- und Rechtsnebenklassen im allgemeinen nicht überein, d. h. $aU \neq Ua$.

Index einer Untergruppe

Sei $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ eine Untergruppe einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$. Die Anzahl der Links- und der Rechtsnebenklassen der Untergruppe $\mathcal{U}$ ist stets identisch und wird als Index $\lbrack G:U \rbrack$ der Untergruppe $\mathcal{U}$ in $\mathcal{G}$ bezeichnet.

Für endliche Gruppen $\mathcal{G}$ kann der Index $\lbrack G:U \rbrack$ der Untergruppe $\mathcal{U}$ mithilfe des Satzes von Lagrange bestimmt werden; es gilt:

\lbrack G:U \rbrack = \frac{|G|}{|U|}.

Erzeugte Untergruppen

Aufgrund der Eigenschaft, dass es sich beim Schnitt von Untergruppen wieder um eine Untergruppe handelt, existiert zu jeder Teilmenge $E \subseteq G$ einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ eine minimale (d. h. kleinste) Untergruppe $\mathcal{E}$ von $\mathcal{G}$, die alle Elemente aus $E$ enthält. Diese wird die von $\mathbf{E}$ erzeugte Untergruppe genannt, als $\langle E \rangle$ dargestellt und lässt sich abstrakt als die Schnittmenge aller Untergruppen $\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)$ von $\mathcal{G}$ darstellen, die $E$ enthalten:

\mathcal{E} = \langle E \rangle = \bigcap_{E \subseteq U}{U}.

Bei den Elementen von $\langle E \rangle$ handelt es sich genau um diejenigen Elemente, die durch Verknüpfung von endlichen vielen Elementen aus $E \cup E^{-1}$ erzeugt werden können; mit $E^{-1}$ ist hierbei die Menge der inversen Elemente von $E$ bezeichnet. Folglich gilt:

\langle E \rangle = \Bigl\{ a_1 \star \ldots \star a_n \mid a_1,\ldots,a_n \in E \cup E^{-1} \wedge n \in \N \Bigr\}.

Handelt es sich bei $\mathcal{U}$ um die von $E$ erzeugte Untergruppe $\langle E \rangle$, dann handelt es sich bei $E$ um ein Erzeugendensystem von $\mathcal{U}$. Hinweis: Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht notwendigerweise eindeutig.

Eine Untergruppe mit einem endlichen Erzeugendensystem wird endlich erzeugte Untergruppe genannt.

Besteht das Erzeugendensystem $E$ nur aus einem einzigen Element $a$, dann ist die von $E$ erzeugte Untergruppe $\langle E \rangle$ zyklisch und es gilt:

\langle E \rangle = \bigl\langle \bigl\{ a \bigr\} \bigr\rangle = \langle a \rangle = \Bigl\{ a^n \mid n \in \Z \Bigr\}.

Bei der Mächtigkeit $|\langle a \rangle|$ der durch das Element $a$ erzeugten Untergruppe $\langle a \rangle$ handelt es sich um die Ordnung des Elements $a$.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische Untergruppen:

Bei den ganzen Zahlen $\Z$ handelt es sich um eine Untergruppe der rationalen Zahlen $\Q$.
Für eine beliebige natürliche Zahl $n$ handelt es sich bei $\bigl(n\Z,+\bigr)$ mit $n\Z = \Bigl\{ n \cdot m \mid m \in \Z \Bigr\}$ um eine Untergruppe von $\bigl(\Z,+\bigr)$. Bei $n\Z$ handelt es sich hierbei um die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von $n$.
Bei der durch die Restklasse ${[4]}_5$ gemeinsam mit der Multiplikation von Restklassen modulo m erzeugten zyklischen Gruppe $\langle {[4]}_5 \rangle = \Bigl\{ {[4]}_5, {[4]}_5 \cdot {[4]}_5 \Bigr\} = \Bigl\{ {[1]}_5, {[4]}_5 \Bigr\}$ handelt es sich um eine Untergruppe der Gruppe $\bigl(\Z_5 \setminus \{0\}, \cdot\bigr)$.
Bei der Menge der geraden Permutationen $\bigl\{ \id, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2) \bigr\}$ (in Zyklenschreibweise) handelt es sich um eine zyklische Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\mathcal{S}_3$.