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Einheitsvektor

Bei einem Einheitsvektor bzw. normierten Vektor handelt es sich um einen Vektor der Länge Eins.

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Definitionen
Beispiele
Kanonische Einheitsvektoren

Definitionen

Einheitsvektor

Ein Element $v$ eines Vektorraums $V$ heißt Einheitsvektor oder normierter Vektor, wenn $|v|=1$ gilt – wenn der Vektor also die Länge 1 besitzt.

Normieren eines Vektors

Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor $v$ kann normiert werden, indem er mit dem Kehrwert seiner Länge skaliert wird. Für den normierten Vektor $v'$ gilt somit:

v' = \frac{v}{|v|}.

Der auf diese Art erhaltene Vektor $v'$ ist der Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor $v$ zeigt.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei der Vektor $v = \bigl( 3,-4 \bigr) \in \R^2$. Für die Länge $\bigl|v\bigr|$ des Vektors $v$ ergibt sich:

\begin{align*} \bigl|v\bigr| &= \sqrt{3^2 + {(-4)}^2} \\[0.5em] &= \sqrt{25} \\[0.5em] &= 5. \end{align*}

Für den normierten Vektor $v'$ ergibt sich somit:

v' = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\[0.25em] -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\[0.25em] -\frac{4}{5} \end{pmatrix}.

Beispiel 2

Gegeben sei der Vektor $v = \bigl( 1,0,3,-5,2 \bigr) \in \R^5$. Für die Länge $\bigl|v\bigr|$ des Vektors $v$ ergibt sich:

\begin{align*} \bigl|v\bigr| &= \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2 + {(-5)}^2 + 2^2} \\[0.5em] &= \sqrt{39}. \end{align*}

Für den normierten Vektor $v'$ ergibt sich somit:

v' = \frac{1}{\sqrt{39}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 3 \\[0.25em] -5 \\[0.25em] 2 \end{pmatrix}.

Kanonische Einheitsvektoren

In den reellen Vektorräumen $\R^n$ besteht die oft verwendete Standardbasis aus den kanonischen Einheitsvektoren

e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix},\quad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix},\quad \ldots,\quad e_n = \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 1 \end{pmatrix}.

Hinweis: Bei der Matrix, deren Spalten den kanonischen Einheitsvektoren $e_1,\ldots,e_n$ entsprechen, handelt es sich um die Einheitsmatrix $E_n$.