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Nullvektor

Beim Nullvektor handelt es sich um das neutrale Element der Addition in einem Vektorraum.

Definition

Beim Nullvektor handelt es sich um das neutrale Element der Addition in einem Vektorraum $V$, d. h. um den (eindeutig bestimmten) Vektor $0_V \in V$, für den für alle Vektoren $v \in V$ gilt:

\[ 0_V + v = v = v + 0_V. \]

Hinweis: Falls keine Verwechslungsgefahr besteht, wird der Nullvektor oftmals durch die Ziffer $0$ dargestellt. Teilweise wird der Nullvektor auch als $o$ dargestellt.

Beispiele

Im Vektorraum $\R$ der reellen Zahlen ist die Zahl $0$ der Nullvektor.
Im Vektorraum $\C$ der komplexen Zahlen ist die Zahl $0+0i$ der Nullvektor.
Im Koordinatenraum $\mathcal{K}^n$ ist der Nullvektor das $n$-Tupel $(0_\mathcal{K}, \ldots, 0_\mathcal{K})$, dessen Einträge alle dem Nullelement $0_\mathcal{K}$ des zugrundeliegenden Körpers $\mathcal{K}$ entsprechen.
Im Matrizenraum $\mathcal{K}^{m \times n}$ ist der Nullvektor die Nullmatrix – also diejenige Matrix, deren Einträge alle dem Nullelement $0_\mathcal{K}$ des zugrundeliegenden Körpers $\mathcal{K}$ entsprechen.

Eigenschaften

Neutrales Element

Der Nullvektor $0_V$ ist das neutrale Element der Addition im Vektorraum $V$. Es gilt:

\[ 0_V + v = v = v + 0_V. \]

Eindeutigkeit

Der Nullvektor $0_V$ ist eindeutig bestimmt. Angenommen, $0_V$ und $0_V'$ seien zwei Nullvektoren, dann gilt aufgrund der Neutralität des Nullvektors stets

\[ 0_V = 0_V + 0_V' = 0_V', \]

woraus direkt $0_V = 0_V'$ folgt.

Skalare Multiplikation

Gegeben sei ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$. Für alle Skalare $\lambda \in K$ und alle Vektoren $v \in V$ gilt:

\begin{align*} \lambda \cdot 0_V &= 0_V \\[0.5em] 0_K \cdot v &= 0_V. \end{align*}

Kreuzprodukt

Im dreidimensionalen euklidischen Raum $\R^3$ ergibt das Kreuzprodukt eines beliebigen Vektors $v \in \R^3$ mit dem Nullvektor $0$ stets den Nullvektor $0$ selbst.

\begin{align*} v \times 0 &= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\[0.25em] v_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} v_2 \cdot 0 - v_3 \cdot 0 \\[0.25em] v_3 \cdot 0 - v_1 \cdot 0 \\[0.25em] v_1 \cdot 0 - v_2 \cdot 0 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} \end{align*}

Verwendung

Linearkombination

Der Nullvektor $0_V$ lässt sich stets als Linearkombination von beliebigen Vektoren $v_1,\ldots,v_n$ eines Vektorraums $V$ darstellen.

0_V = \lambda_1 \cdot v_1 + \ldots + \lambda_n \cdot v_n

Die Vektoren $v_1,\ldots,v_n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn $\lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0_K$ die einzige Möglichkeit ist, $0_V$ als Linearkombination dieser Vektoren darzustellen; andernfalls sind sie linear abhängig.

Lineare Abbildung

Gegeben sei eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ zwischen zwei Vektorräumen $V$ und $W$ über demselben Körper $K$. Der Nullvektor $0_V$ von $V$ wird durch $f$ stets auf den Nullvektor $0_W$ des Vektorraums $W$ abgebildet.

f\bigl(0_V\bigr) = f\bigl(0_K \cdot 0_V\bigr) = 0_K \cdot f\bigl(0_V\bigr) = 0_W.

Es können auch andere Vektoren $v \in V$ auf den Nullvektor $0_W$ abgebildet werden. Die Menge aller dieser Vektoren $v$ bildet den Kern der linearen Abbildung. Besteht der Kern der linearen Abbildung $f$ nur aus dem Nullvektor $0_V$, so ist die Abbildung $f$ injektiv.

Lineares Gleichungssystem

Gegeben sei ein homogenes lineares Gleichungssystem $Ax=0$. Dieses besitzt in jedem Fall den Nullvektor als Lösung. Das Gleichungssystem $Ax=0$ ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Nullvektor die einzige Lösung ist.

Für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem $Ax=b$ mit $b \neq 0$ ist der Nullvektor niemals eine Lösung. Das Gleichungssystem $Ax=b$ ist genau dann eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem $Ax=0$ nur den Nullvektor als Lösung besitzt.