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Lineare Hülle

Bei der linearen Hülle handelt es sich um die Menge aller Linearkombinationen, die aus gegebenen Vektoren erzeugt werden können.

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Definitionen
Beispiele
Eigenschaften

Definitionen

Lineare Hülle

Gegeben seien ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ sowie eine Teilmenge $A \subseteq V$. Die Menge

\Lin\bigl(A\bigr) = \Bigl\{ \lambda_1 \cdot v_1 + \ldots + \lambda_n \cdot v_n \ | \ \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in K,\ v_1,\ldots,v_n \in A \Bigr\}

wird lineare Hülle von $A$ genannt und ist die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren $v_i \in A$. Sie wird typischerweise als $\Lin(A)$ oder $\span(A)$ geschrieben.

Die lineare Hülle der leeren Menge $\emptyset$ ist der Nullvektorraum

\Lin\bigl(\emptyset\bigr) = \Bigl\{ 0 \Bigr\},

da die leere Summe von Vektoren per Definition den Nullvektor ergibt.

Alternative Definitionen

Es existieren einige alternative Definitionen für die lineare Hülle:

Die lineare Hülle einer Teilmenge $A \subseteq V$ eines Vektorraums $V$ ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge $A$ enthält.
Die lineare Hülle einer Teilmenge $A \subseteq V$ eines Vektorraums $V$ ist die Schnittmenge aller Untervektorräume $U \subseteq V$, die $A$ enthalten.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die folgenden Vektoren des Koordinatenraums $\R^3$:

\begin{align*} v_1 &= \bigl( 2,0,0 \bigr) \\[0.5em] v_2 &= \bigl( 0,0,1 \bigr). \end{align*}

Bei der linearen Hülle dieser Vektoren handelt es sich um eine Ebene im $\R^3$, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Genauer gesagt: Es handelt sich bei diesem Beispiel um die $xz$-Ebene.

Beispiel 2

Gegeben seien die folgenden Vektoren des Koordinatenraums $\R^2$:

\begin{align*} v_1 &= \bigl( 2,0 \bigr) \\[0.5em] v_2 &= \bigl( 0,-1 \bigr) \\[0.5em] v_3 &= \bigl( 2,1 \bigr). \end{align*}

Bei der linearen Hülle dieser Vektoren handelt es sich um den Vektorraum $\R^2$ selbst.

Beispiel 3

Gegeben seien die folgenden Polynome mit reellen Koeffizienten:

\begin{align*} p_1(x) &= x^2+x \\[0.5em] p_2(x) &= x+1 \\[0.5em] p_3(x) &= 42. \end{align*}

Bei der linearen Hülle der Polynome $p_1(x)$, $p_2(x)$ und $p_3(x)$ handelt es sich um die Menge aller Polynome mit dem Maximalgrad 2 – also um den Polynomraum, der alle quadratischen, linearen und konstanten Polynome enthält.

Eigenschaften

Allgemeine Eigenschaften

Es gelten die folgenden Eigenschaften:

Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums $V$ ist ein Untervektorraum von $V$.
Für einen Untervektorraum $U \subseteq V$ eines Vektorraums $V$ gilt stets $\Lin(U) = U$.
Eine Menge $A$ von Vektoren ist stets ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle $\Lin(A)$. Insbesondere gilt: Ist eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraums, so ist der Unterraum selbst die zugehörige lineare Hülle.
Die Summe $U_1 + U_2$ zweier Untervektorräume $U_1$ und $U_2$ ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge: $\begin{align*} U_1 + U_2 &= \Bigl\{ u_1+u_2 : u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \Bigr\} \\[0.5em] &= \Lin\bigl( U_1 \cup U_2 \bigr). \end{align*}$

Hüllenoperator

Gegeben seien zwei Teilmengen $A,B \subseteq V$ eines Vektorraums $V$. Es gelten die folgenden drei Eigenschaften, die die lineare Hülle als Hüllenoperator charakterisieren:

$A \subseteq \Lin(A)$
$A \subseteq B \Rightarrow \Lin(A) \subseteq \Lin(B)$
$\Lin(A) = \Lin(\Lin(A))$