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Aufgaben

Eigenwerte einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator mit Musterlösungen

Artikel zum Nachlesen: Eigenwert

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Eigenwerte erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Bestimme die ganzzahligen Eigenwerte der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\]
Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib zunächst die Zahlenbereiche an, aus denen die Elemente der Matrix sowie die zu bestimmenden Eigenwerte stammen sollen:

Gib die Matrix ein, deren rationale Eigenwerte bestimmt werden soll:

$ 0$
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$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.

Bestimmung des charakteristischen Polynoms

Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristische Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:

\[\begin{align*}
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda - 7 & 10 \\ -5 & \lambda + 8 \end{bmatrix}
\end{align*}\]

Die Determinante kann direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(\lambda - 7\right) \cdot \left(\lambda + 8\right) - 10 \cdot \left(-5\right)\\[0.5em] &= \lambda^2 + \lambda - 6 \end{align*}\]

Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:

\[\chi_A(\lambda) = \lambda^2 + \lambda - 6\]

Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.

\[\lambda^2 + \lambda - 6 = 0\]

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {\lambda}^2 + p \lambda + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    \lambda^2 + \lambda - 6 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=1$ und $q=-6$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {\lambda}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^2}{4} - \left(-6\right)} \\[0.5em]
    &= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {\lambda}_{1/2} &= -\frac{1}{2} \pm \frac{5}{2} \\[1.5em]
    \implies {\lambda}_1 &= -3 \\[0.5em]
    {\lambda}_2 &= 2
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.

Die Matrix besitzt somit die folgenden ganzzahligen Eigenwerte:

\[\begin{align*}
\lambda_{1} &= -3 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= 2
\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen ganzzahligen Eigenwerte ein.

Gib alle gefundenen ganzzahligen Eigenwerte ein. Mehrfach vorkommende Eigenwerte müssen nur einfach eingegeben werden.

\[\lambda_1=\]
$ 0$
\[\lambda_2=\]
$ 0$