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Aufgaben

Eigenwerte einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Eigenwert

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Eigenwerte einer Matrix erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Bestimme die ganzzahligen Eigenwerte der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

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Gib zunächst die Zahlenbereiche an, aus denen die Elemente der Matrix sowie die zu bestimmenden Eigenwerte stammen sollen:

Gib die Matrix ein, deren rationale Eigenwerte bestimmt werden soll:

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Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.

Bestimmung des charakteristischen Polynoms

Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristische Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:

\[\begin{align*}
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda - 7 & 10 \\ -5 & \lambda + 8 \end{bmatrix}
\end{align*}\]

Die Determinante kann direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(\lambda - 7\right) \cdot \left(\lambda + 8\right) - 10 \cdot \left(-5\right)\\[0.5em] &= \lambda^2 + \lambda - 6 \end{align*}\]

Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:

\[\chi_A(\lambda) = \lambda^2 + \lambda - 6\]

Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.

\[\lambda^2 + \lambda - 6 = 0\]

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {\lambda}^2 + p \lambda + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    \lambda^2 + \lambda - 6 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=1$ und $q=-6$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {\lambda}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^2}{4} - \left(-6\right)} \\[0.5em]
    &= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {\lambda}_{1/2} &= -\frac{1}{2} \pm \frac{5}{2} \\[1.5em]
    \implies {\lambda}_1 &= -3 \\[0.5em]
    {\lambda}_2 &= 2
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.

Die Matrix besitzt somit die folgenden ganzzahligen Eigenwerte:

\[\begin{align*}
\lambda_{1} &= -3 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= 2
\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen ganzzahligen Eigenwerte ein.

Gib alle gefundenen ganzzahligen Eigenwerte ein. Mehrfach vorkommende Eigenwerte müssen nur einfach eingegeben werden.

\[\lambda_1=\]
$ 0$
\[\lambda_2=\]
$ 0$