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Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine der grundlegenden Regeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass der Quotient von differenzierbaren Funktionen selbst differenzierbar ist. Die Quotientenregel beschreibt darüber hinaus, wie die Ableitung des Quotienten von zwei Funktionen auf die Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann.

Definition

Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen oder der komplexen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte Funktionen $u$ und $v$. Die Quotientenregel besagt, dass der Quotient

f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}

der Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x_0 \in \mathcal{D}$ differenzierbar ist, falls die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar sind und falls darüber hinaus $v(x_0) \neq 0$ gilt. Die Ableitung des Quotienten an der Stelle $x_0$ kann in diesem Fall auf die Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$ zurückgeführt werden; es gilt:

\begin{align*} f'(x_0) &= {\left[ \frac{u(x_0)}{v(x_0)} \right]}' \\[0.5em] &= \frac{u'(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v'(x_0)}{{\bigl( v(x_0) \bigr)}^2} \end{align*}

Oder kurz:

\begin{align*} f' &= {\left[ \frac{u}{v} \right]}' \\[0.5em] &= \frac{u'v - uv'}{v^2} \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Das erste Beispiel demonstriert die Quotientenregel für einen Quotienten von zwei Funktionen. Gegeben sei die Funktion

f(x) = \frac{e^x}{x^4},

bei der es sich um den Quotienten der Exponentialfunktion $e^x$ und der Potenzfunktion $x^4$ handelt. Da beide Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind, kann die Ableitung der Funktion $f$ mithilfe der Quotientenregel auf die Ableitungen der Funktionen $e^x$ und $x^4$ zurückgeführt werden. Hierbei werden die Ableitungsregel der Exponentialfunktion sowie die Ableitungsregel der Potenzfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} f'(x) &= {\left[ \frac{e^x}{x^4} \right]}' \\[0.5em] &= \frac{{\bigl[ e^x \bigr]}' \cdot x^4 - e^x \cdot {\bigl[ x^4 \bigr]}'}{{\bigl( x^4 \bigr)}^2} \\[0.5em] &= \frac{e^x \cdot x^4 - e^x \cdot 4x^3}{x^8} \\[0.5em] &= \frac{e^x \cdot \bigl( x - 4 \bigr)}{x^5} \end{align*}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel verwendet die Quotientenregel zum Ableiten der Funktion

g(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}},

bei der es sich um den Quotienten der Kosinus-Funktion $\cos(x)$ und der Wurzelfunktion $\sqrt{x}$ handelt. Da beide Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind, kann die Ableitung der Funktion $g$ mithilfe der Quotientenregel auf die Ableitungen der Funktionen $\cos(x)$ und $\sqrt{x}$ zurückgeführt werden. Hierbei werden die Ableitungsregel der Kosinus-Funktion sowie die Ableitungsregel der Wurzelfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} g'(x) &= {\left[ \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \right]}' \\[0.5em] &= \frac{{\bigl[ \cos(x) \bigr]}' \cdot \sqrt{x} - \cos(x) \cdot {\bigl[ \sqrt{x} \bigr]}'}{{\bigl( \sqrt{x} \bigr)}^2} \\[0.5em] &= \frac{-\sin(x) \cdot \sqrt{x} - \cos(x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}}{x} \\[0.5em] &= \frac{-2x \cdot \sin(x) - \cos(x)}{2 \cdot \sqrt{x^3}} \end{align*}

Beweis der Quotientenregel

Die Herleitung bzw. der Beweis der Quotientenregel für den Quotienten von zwei Funktionen erfolgt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Gegeben seien die beiden an der Stelle $x_0$ differenzierbaren Funktionen $u$ und $v$. Bei den Ableitungen $u'(x_0)$ bzw. $v'(x_0)$ handelt es sich nach der Definition der Differenzierbarkeit dann um die folgenden Grenzwerte:

\begin{align*} u'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \right) \\[0.5em] v'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right) \end{align*}

Die Ableitung des Quotienten

f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}

kann wie folgt über den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt werden:

\begin{align*} f'(x_0) &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\frac{u(x_0+h)}{v(x_0+h)} - \frac{u(x_0)}{v(x_0)}}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0+h)}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)}}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0+h)}{h \cdot v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0+h)}{h \cdot v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{ \left( \frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0)}{h} + \frac{u(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0+h)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h)} \right)}}_{=\frac{1}{v(x_0)}} \cdot \frac{1}{v(x_0)} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{v(x_0)} \cdot \frac{1}{v(x_0)} \cdot \left( \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \cdot v(x_0) \right)} - \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( u(x_0) \cdot \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)} \right) \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{1}{{\bigl( v(x_0) \bigr)}^2} \cdot \left( \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \right)}}_{=u'(x_0)} \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)}}_{=v'(x_0)} \right) \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} \frac{1}{{\bigl( v(x_0) \bigr)}^2} \cdot \Bigl( u'(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v'(x_0) \Bigr) \\[0.75em] &\overset{(11)}{=} \frac{u'(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v'(x_0)}{{\bigl( v(x_0) \bigr)}^2} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition der Ableitung von $f$ als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)	Ersetzen der Funktion $f(x)$ durch den Quotienten $\frac{u(x)}{v(x)}$
(3)	Gleichnamig machen und Zusammenfassen der Differenz im Zähler Erweitern des ersten Bruchs mit $v(x_0)$ Erweitern des zweiten Bruchs mit $v(x_0+h)$
(4)	Auflösen bzw. Vereinfachen des Doppelbruchs
(5)	Addition des Terms $-u(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot v(x_0)$ im Zähler Der addierte Term ergibt insgesamt 0, sodass der Wert des Zählers nicht verändert wird
(6)	Herausziehen des Faktors $\frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)}$ aus dem Grenzwert mithilfe der Rechenregel für Produkte von Grenzwerten Aufteilen des verbleibenden Bruchs auf zwei Summanden
(7)	Herausziehen des konstanten Faktors $\frac{1}{v(x_0)}$ aus dem ersten Grenzwert Ausklammern von $v(x_0)$ aus dem vorderen Bruch im zweiten Grenzwert mithilfe des Distributivgesetzes Ausklammern von $-u(x_0)$ aus dem hinteren Bruch im zweiten Grenzwert mithilfe des Distributivgesetzes sowie Vertauschen der Reihenfolge der Summanden im Zähler mithilfe des Kommutativgesetzes
(8)	Ausrechnen von $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h)}\right)}$ mithilfe der Stetigkeit der Funktion $v$ $\begin{align} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h)}\right)} &= \frac{1}{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\bigl( v(x_0+h) \bigr)}} \\[0.5em] &= \frac{1}{v(x_0)} \end{align}$ Aufteilen des (zweiten) Grenzwerts auf die Differenz von zwei Grenzwerten mithilfe der Rechenregel für Differenzen von Grenzwerten
(9)	Zusammenfassen der beiden Faktoren $\frac{1}{v(x_0)}$ Herausziehen der konstanten Faktoren $v(x_0)$ bzw. $u(x_0)$ aus den beiden Grenzwerten
(10)	Ersetzen der Grenzwerte durch die Ableitungen $u'(x_0)$ und $v'(x_0)$ gemäß der initialen Definition
(11)	Zusammenfassen