Asymmetrische Relation
Bei einer asymmetrischen Relation handelt es sich um eine zweistellige Relation \(R\) auf einer Menge, bei der aus \((a,b) \in R\) stets \((b,a) \notin R\) folgt. Asymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Striktordnung.
Mit der Asymmetrie eng verwandte Eigenschaften von Relationen sind Symmetrie und Antisymmetrie.
Definition
Sei \(A\) eine Menge und \(R \subseteq A \times A\) eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation. Die Relation \(R\) heißt asymmetrisch, falls gilt:
Steht ein Element \(a\) also in Relation mit einem Element \(b\), so stehen umgekehrt niemals \(b\) und \(a\) in Relation. Betrachtet man den zur Relation gehörenden gerichteten Graphen, so gibt es also zu keiner Kante von \(a\) nach \(b\) die entgegengesetzte Kante von \(b\) nach \(a\). Schlingen von einem Element zu sich selbst sind nicht zulässig.
Hinweis: Eine Relation ist asymmetrisch, solange die Asymmetriebedingung nicht explizit verletzt ist. Es ist insbesondere nicht notwendig, dass Elemente \(a,b \in A\) mit \((a,b) \in R\) tatsächlich existieren.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_1\) mit
Die Relation \(R_1\) ist asymmetrisch, da für alle Elemente \(x,y \in A\) stets gilt: Aus \((x,y) \in R_1\) folgt \((y,x) \notin R_1\).
Beispiel 2
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_2\) mit
Die Relation \(R_2\) ist nicht asymmetrisch, da die Asymmetriebedingung verletzt ist:
- Es gilt \((b,b) \in R_2\).
- Es gilt \((b,d) \in R_2\) und \((d,b) \in R_2\).
Beispiel 3
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_3\) mit
Die Relation \(R_3\) ist nicht asymmetrisch, da die Asymmetriebedingung verletzt ist:
- Es gilt \((a,a) \in R_3\).
- Es gilt \((b,b) \in R_3\).
- Es gilt \((d,d) \in R_3\).
Beispiel 4
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_4\) mit
Die Relation \(R_4\) ist asymmetrisch, da für alle Elemente \(x,y \in A\) mit \(x \neq y\) stets gilt: Aus \((x,y) \in R_4\) folgt niemals \((y,x) \in R_4\). Da die Relation \(R_4\) keine Elemente enthält, existieren insbesondere auch keine Verletzungen der Asymmetriebedingung.
Beispiele in der Mathematik
Anordnen von Zahlen
Bei der Kleiner-Relation \(\lt\) von natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen Zahlen handelt es sich um asymmetrische Relationen. Für Zahlen \(a\) und \(b\) gilt niemals \(a \lt b\) und \(b \lt a\). Dasselbe gilt analog für die Größer-Relation \(\gt\). In beiden Fällen handelt es sich um Ordnungsrelationen.
Echte Teilmenge
Die (echte) Teilmengenbeziehung \(\subset\) ist asymmetrisch. Für Mengen \(A\) und \(B\) gilt niemals \(A \subset B\) und \(B \subset A\). Es handelt sich bei der Teilmengenbeziehung um eine Ordnungsrelation.
Eigenschaften
Für Relationen gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:
- Die Schnittmenge einer asymmetrischen Relation mit ihrer Umkehrrelation \(R^{-1}\) ist immer leer. \[ R \cap R^{-1} = \emptyset. \]
- Jede Teilmenge einer asymmetrischen Relation ist wieder eine asymmetrische Relation.
- Sind \(R\) und \(S\) asymmetrische Relationen, so ist auch ihr Schnitt \(R \cap S\) eine asymmetrische Relation. Die Aussage gilt analog für den Schnitt von mehr als zwei Relationen.
- Die leere Relation ist die einzige Relation, die symmetrisch und asymmetrisch zugleich ist.
- Jede asymmetrische Relation ist antisymmetrisch; umgekehrt ist aber nicht jede antisymmetrische Relation auch asymmetrisch.
- Jede asymmetrische Relation ist irreflexiv; umgekehrt ist aber nicht jede irreflexive Relation auch asymmetrisch.