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Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der elementaren Algebra, der es ermöglicht, natürliche Potenzen eines Binoms \(a+b\) zu berechnen – also einen Ausdruck der Form \({(a+b)}^n\) für ein \(n \in \N\).

Definition

Gegeben seien Elemente \(a\) und \(b\) eines kommutativen Rings mit Eins (z.B. ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen), sowie eine natürliche Zahl \(n \in \N\). Für die \(n\)-te Potenz des Binoms \(a+b\) gilt die folgende Formel, die binomischer Lehrsatz genannt wird:

\begin{align*} {\bigl( a+b \bigr)}^n &= \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k} a^k b^{n-k}} \\[0.5em] &= \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k} a^{n-k} b^k} \end{align*}

Bei den Koeffizienten \(\binom{n}{k}\), die im namensgebenden binomischen Lehrsatz auftreten, handelt es sich um die Binomialkoeffizienten, die durch die folgende Formel berechnet werden können:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}

Die Gleichheit der beiden zuvor genannten Summenformeln ergibt sich aus der Symmetrie der Binomialkoeffizienten.

Beispiel

Binomischer Lehrsatz für \(\mathbf{n=0}\)

Für den trivialen Fall \(n=0\) ergibt sich die Lösung unmittelbar aus der Definition von Potenzen. Es gilt

{\bigl( a+b \bigr)}^0 = 1.

Anmerkung: Eine Ausnahme liegt für den Fall \(a+b=0\) vor. In diesem Fall ist das Ergebnis der undefinierte Wert \(0^0\). In der Algebra und in der Kombinatorik wird dieser Wert oftmals als 1 interpretiert. Dies ist jedoch kontextabhängig.

Binomischer Lehrsatz für \(\mathbf{n=1}\)

Für den trivialen Fall \(n=1\) ergibt sich:

{\bigl( a+b \bigr)}^1 = a+b.

Binomischer Lehrsatz für \(\mathbf{n=2}\)

Für den Fall \(n=2\) handelt es sich beim binomischen Lehrsatz um die erste binomische Formel:

{\bigl( a+b \bigr)}^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Binomischer Lehrsatz für \(\mathbf{n=3}\)

Für den Fall \(n=3\) liefert der binomische Lehrsatz das folgende Ergebnis:

{\bigl( a+b \bigr)}^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Weitere Beispiele

Für größere Potenzen gilt exemplarisch:

\begin{align*} {\bigl( a+b \bigr)}^4 &= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \\[0.5em] {\bigl( a+b \bigr)}^5 &= a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5 ab^4 + b^5 \\[0.5em] &\ \ \vdots \\[0.5em] {\bigl( a+b \bigr)}^n &= \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n. \end{align*}

Die auftretenden Koeffizienten \(\binom{n}{0}, \ldots, \binom{n}{n}\) entsprechen hierbei stets den Einträgen der \(n\)-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks.

Herleitung

Um eine allgemeine Formel zum Berechnen von \({(a+b)}^n\) zu finden, wird zunächst exemplarisch der Fall \(n=3\) betrachtet und durch Ausmultiplizieren gelöst.

\begin{align*} {\bigl( a+b \bigr)}^3 &= \bigl( a+b \bigr) \cdot \bigl( a+b \bigr) \cdot \bigl( a+b \bigr) \\[0.5em] &= {\color{CornflowerBlue}aaa} + {\color{Orange}aab} + {\color{Orange}aba} + {\color{Magenta}abb} \\[0.5em] &\phantom{=}+ {\color{Orange}baa} + {\color{Magenta}bab} + {\color{Magenta}bba} + {\color{LimeGreen}bbb} \\[0.5em] &= {\color{CornflowerBlue}a^3} + {\color{Orange}3a^2b} + {\color{Magenta}3ab^2} + {\color{LimeGreen}b^3} \end{align*}

Im Ergebnis treten die Terme \(a^3\), \(a^2b\), \(ab^2\) und \(b^3\) auf, also alle Terme der Form \(a^kb^\ell\) mit \(k+\ell=3\). Wie exemplarisch am Term \(a^2b\) zu erkennen ist, können diese Terme mehrfach auftreten: Der Term \(a^2b\) entsteht aus den Kombinationen \(aab\), \(aba\) und \(baa\). Diese entstehen, indem beim Ausmultiplizieren aus genau zwei Klammern \((a+b)\) der Term \(a\) als Faktor ausgewählt wird: aus der ersten und zweiten, aus der ersten und dritten bzw. aus der zweiten und dritten Klammer. Aus der jeweils verbleibenden Klammer wird entsprechend \(b\) ausgewählt. Der Koeffizient des Terms \(a^2b\) beschreibt also die Anzahl der Möglichkeiten, aus den drei vorhandenen Klammern genau zwei auszuwählen, aus denen dann der Term \(a\) als Faktor verwendet wird.

Diese Beobachtungen können auf den allgemeinen Fall zur Berechnung von \({(a+b)}^n\) übertragen werden: Beim Ausmultiplizieren entstehen alle Terme \(a^kb^\ell\) mit \(k+\ell=n\). Um den Term \(a^kb^\ell\) zu erhalten, müssen von den \(n\) Klammern \((a+b)\) insgesamt \(k\) Stück ausgewählt werden, aus denen der Term \(a\) als Faktor verwendet wird; aus den verbleibenden \(\ell=n-k\) Klammern wird entsprechend der Term \(b\) ausgewählt. Der resultierende Koeffizient, also die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Klammern genau \(k\) Stück auszuwählen, wird als \(\binom{n}{k}\) dargestellt und Binomialkoeffizient genannt.

Zusammenfassend lässt sich dies durch die folgende Formel darstellen, die als binomischer Lehrsatz bezeichnet wird:

{\bigl( a+b \bigr)}^n = \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k} a^k b^{n-k}}

Anmerkung: Wie die Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) konkret berechnet werden können, spielt für diese Überlegung zunächst keine Rolle und kann auf der Seite über Binomialkoeffizienten nachgelesen werden.

Beweis

Der binomische Lehrsatz kann mittels vollständiger Induktion bewiesen werden, indem die Aussage durch Nachrechnen zunächst für ein spezielles \(n\) (z. B. für \(n=0\)) überprüft wird und anschließend gezeigt wird, dass unter der Annahme, die Aussage gelte für ein konkretes \(n\), dann auch die entsprechende Aussage für dessen Nachfolger \(n+1\) gilt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für \(n=0\) gültig, denn es gilt

\begin{align*} {\bigl( a+b \bigr)}^0 &= 1 \\[0.5em] \sum\limits_{k=0}^{0}{\binom{0}{k}a^kb^{0-k}} &= \binom{0}{0}a^0b^{0-0} = 1. \end{align*}

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für ein festes \(n \in \N_0\).

\begin{align*} {\bigl( a+b \bigr)}^{n+1} &\overset{(1)}{=} \bigl( a+b \bigr) \cdot {\bigl( a+b \bigr)}^{n} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl( a+b \bigr) \cdot \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a \cdot \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}} + b \cdot \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}} + \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k+1}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \binom{n}{n}a^{n+1}b^{n-n} + \sum\limits_{k=0}^{n-1}{\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}} + \sum\limits_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k+1}} + \binom{n}{0}a^0b^{n-0+1} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} a^{n+1} + \sum\limits_{k=1}^{n}{\binom{n}{k-1}a^{k}b^{n-k+1}} + \sum\limits_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k+1}} + b^{n+1} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} a^{n+1} + \sum\limits_{k=1}^{n}{\left(\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right) a^{k}b^{n-k+1}} + b^{n+1} \\[0.5em] &\overset{(8)}{=} a^{n+1} + \sum\limits_{k=1}^{n}{\binom{n+1}{k} a^{k}b^{n-k+1}} + b^{n+1} \\[0.5em] &\overset{(9)}{=} \binom{n+1}{n+1}a^{n+1}b^{n-(n+1)+1} + \sum\limits_{k=1}^{n}{\binom{n+1}{k} a^{k}b^{n-k+1}} + \binom{n+1}{0}a^0b^{n-0+1} \\[0.5em] &\overset{(10)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n+1}{\binom{n+1}{k} a^{k}b^{n+1-k}} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Zurückführen von \({(a+b)}^{n+1}\) auf \({(a+b)}^n\) mithilfe von Potenzgesetz Ia
(2)	Ersetzen von \({(a+b)}^n\) mithilfe der Induktionsannahme
(3)	Ausmultiplizieren mithilfe des Distributivgesetzes
(4)	Hineinziehen der Faktoren \(a\) bzw. \(b\) in die jeweilige Summe
(5)	Herausziehen des Terms für \(k=n\) aus der ersten Summe Herausziehen des Terms für \(k=0\) aus der zweiten Summe
(6)	Ausrechnen/Vereinfachen der zuvor aus den Summen herausgezogenen Werte Überführen der ersten Summe von \(\sum\limits_{0}^{n-1}{(\ldots)}\) zu \(\sum\limits_{1}^{n}{(\ldots)}\) mittels Indextransformation
(7)	Zusammenfassen der beiden Summen Ausklammern von \(a^kb^{n-k+1}\) mithilfe des Distributivgesetzes
(8)	Anwenden der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten
(9)	Umschreiben von \(a^{n+1}\) zu \(\binom{n+1}{n+1}a^{n+1}b^{n-(n+1)+1}\) – dies entspricht dem Summationsterm für \(k=n+1\) Umschreiben von \(b^{n+1}\) zu \(\binom{n+1}{0}a^0b^{n-0+1}\) – dies entspricht dem Summationsterm für \(k=0\)
(10)	Hineinziehen der Summanden für \(k=0\) und \(k=n+1\) in die Summe

Insgesamt folgt, dass die Behauptung für \(n+1\) gilt, falls sie für \(n\) gilt. Gemeinsam mit dem Induktionsanfang folgt somit die Gültigkeit des binomischen Lehrsatzes für alle \(n \in \N_0\).