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Polarform einer komplexen Zahl

Bei der Polarform handelt es sich um die Darstellung einer komplexen Zahl durch Polarkoordinaten, also mithilfe ihres (absoluten) Betrags (Abstand zur \(0\)) und ihres Arguments (Winkel zur reellen Achse).

Inhalt

Definitionen
Nichteindeutigkeit der Polarform
Umrechnung
Beispiele

Definitionen

Polarform (trigonometrische Form)

Eine komplexe Zahl \(z\) kann in der komplexen Zahlenebene alternativ zu ihrer Darstellung über die kartesischen Koordinaten \(a\) und \(b\) (dem Real- und Imaginärteil der Zahl \(z=a+ib\) in algebraischer Form) auch mithilfe von Polarkoordinaten \(r,\varphi \in \R\) mit \(r \geq 0\) und \(0 \leq \varphi \lt 2\pi\) durch den Ausdruck

z = r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr)

dargestellt werden. Der Wert \(r\) bezeichnet hierbei den (absoluten) Betrag der komplexen Zahl \(z\), während der Winkel \(\varphi\) das Argument der komplexen Zahl \(z\) genannt wird. Die Darstellung einer komplexen Zahl mittels (absoluten) Betrag und Argument wird Polarform der komplexen Zahl genannt. Aufgrund der Darstellung mit den trigonometrischen Funktionen wird diese Darstellung auch trigonometrische Form genannt.

Die folgende Abbildung verdeutlicht, wie eine komplexe Zahl \(z=a+ib\) mithilfe des Betrags \(r\), des Arguments \(\varphi\) sowie der (reellen) Sinus- und Kosinusfunktion dargestellt werden kann.

Darstellung einer komplexen Zahl in Polarform

Polarform (Exponentialform)

Unter Zuhilfenahme der Eulerschen Formel kann die Polarform einer komplexen Zahl \(z\) auch mithilfe der Exponentialfunktion dargestellt werden. Für \(r,\varphi \in \R\) mit \(r \geq 0\) und \(0 \leq \varphi \lt 2\pi\) gilt:

\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}

Aufgrund der Darstellung mit der Exponentialfunktion wird diese Darstellung auch Exponentialform genannt.

Die folgende Abbildung verdeutlicht, wie eine komplexe Zahl \(z\) mithilfe des Betrags \(r\), des Arguments \(\varphi\) sowie der Exponentialfunktion dargestellt werden kann.

Darstellung einer komplexen Zahl in Exponentialform

Nichteindeutigkeit der Polarform

Die Darstellung einer komplexen Zahl in Polarform ist aufgrund der Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion nicht eindeutig. Für alle \(r,\varphi \in \R\) sowie \(k \in \Z\) gilt:

r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) = r \cdot \bigl( \cos(\varphi + 2\pi k) + i \cdot \sin(\varphi + 2\pi k) \bigr).

Dies gilt aufgrund der Periodizität von \(e^{ix}\) analog für die Exponentialform einer komplexen Zahl. Für alle \(r,\varphi \in \R\) sowie \(k \in \Z\) gilt:

r \cdot e^{i\varphi} = r \cdot e^{i(\varphi+2\pi k)}.

Das Argument \(\varphi\) einer komplexen Zahl ist nicht eindeutig. Deshalb ist es üblich, eine Einschränkung auf das Intervall \([0, 2\pi)\) (also auf die Werte \(0 \leq \varphi \lt 2\pi\)) oder auch auf das Intervall \([-\pi, \pi)\) (also auf die Werte \(-\pi \leq \varphi \lt \pi\)) vorzunehmen. Für diese ist das Argument stets eindeutig bestimmt – mit der einzigen Ausnahme \(z=0\).

Umrechnung

Umrechnung der Polarform in algebraische Form

Gegeben sei die folgende komplexe Zahl \(z\) in Polarform (mit \(r,\varphi \in \R\)):

\begin{align*} z &= r \cdot e^{i\varphi} \\[0.5em] &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr). \end{align*}

Die Umrechnung in algebraische Form erfolgt problemlos; es gilt:

z = \underbrace{r \cdot \cos(\varphi)}_{=\ a} + i \cdot \underbrace{r \cdot \sin(\varphi)}_{=\ b}.

Für die algebraische Form \(z=a+ib\) gilt somit:

\begin{align*} a = \operatorname{Re}(z) &= r \cdot \cos(\varphi) \\[0.5em] b = \operatorname{Im}(z) &= r \cdot \sin(\varphi). \end{align*}

Umrechnung der algebraischen Form in Polarform

Gegeben sei die folgende komplexe Zahl \(z\) in algebraischer Form (mit \(a,b \in \R\)):

\[ z = a + ib. \]

Zur Umrechnung in die Polarform muss zunächst der (absolute) Betrag der komplexen Zahl \(z\) bestimmt werden. Dieser kann beispielsweise mithilfe des Satzes von Pythagoras oder mithilfe der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z}\) bestimmt werden. Es gilt:

\begin{align*} r = |z| &= \sqrt{z \cdot \overline{z}} \\[0.5em] &= \sqrt{a^2+b^2} \\[0.5em] &= \sqrt{\operatorname{Re}^2(z) + \operatorname{Im}^2(z)}. \end{align*}

Für beliebige komplexe Zahlen \(z \neq 0\) kann das Argument mithilfe der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen berechnet werden, denn es gelten die folgenden Zusammenhänge:

\begin{align*} \cos(\varphi) &= \frac{a}{r} \\[0.5em] \sin(\varphi) &= \frac{b}{r} \\[0.5em] \tan(\varphi) &= \frac{a}{b}\,. \end{align*}

Hinweis: Für den Spezialfall \(z=0\) gilt \(r=0\) und das Argument \(\varphi\) kann beliebig gewählt werden – häufig wird \(\varphi=0\) verwendet. Jede Zahl mit dem absoluten Betrag \(0\) stellt die Zahl \(0+0i\) dar.

Berechnung des Arguments mithilfe des Arkuskosinus
Das Argument \(\varphi\) der komplexen Zahl \(z\) mit \(0 \leq \varphi \lt 2\pi\) kann mithilfe des Arkuskosinus wie folgt bestimmt werden:

\varphi = \begin{cases} \arccos\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right) & \text{, für } b \geq 0 \\[0.5em] 2\pi - \arccos\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right) & \text{, für } b \lt 0. \end{cases}

Berechnung des Arguments mithilfe des Arkussinus
Das Argument \(\varphi\) der komplexen Zahl \(z\) mit \(0 \leq \varphi \lt 2\pi\) kann mithilfe des Arkussinus wie folgt bestimmt werden:

\varphi = \begin{cases} \arcsin\left(\displaystyle\frac{b}{r}\right) & \text{, für } a \geq 0 \text{ und } b \geq 0 \\[0.5em] 2\pi - \arcsin\left(\displaystyle\frac{b}{r}\right) & \text{, für } a \geq 0 \text{ und } b \lt 0 \\[0.5em] \pi - \arcsin\left(\displaystyle\frac{b}{r}\right) & \text{, für } a \lt 0. \end{cases}

Berechnung des Arguments mithilfe des Arkustangens
Das Argument \(\varphi\) der komplexen Zahl \(z\) mit \(0 \leq \varphi \lt 2\pi\) kann mithilfe des Arkustangens wie folgt bestimmt werden:

\varphi = \begin{cases} \arctan\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right) & \text{, für } a \gt 0 \text{ und } b \geq 0\\[0.5em] \arctan\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right) + 2\pi & \text{, für } a \gt 0 \text{ und } b \lt 0 \\[0.5em] \arctan\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right) + \pi & \text{, für } a \lt 0 \\[0.5em] \displaystyle\frac{\pi}{2} & \text{, für } a = 0 \text{ und } b \gt 0 \\[0.5em] \displaystyle\frac{3\pi}{2} & \text{, für } a = 0 \text{ und } b \lt 0. \end{cases}

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die komplexe Zahl \(z = 3-3i\) in algebraischer Form, die in Polarform umgerechnet werden soll. Hierzu müssen Betrag und Argument der Zahl \(z\) berechnet werden. Es gilt \(a=3\) und \(b=-3\).

Berechnung des Betrags
Der Betrag \(r\) kann wie folgt berechnet werden:

\begin{align*} r = |z| &= \sqrt{a^2 + b^2} \\[0.5em] &= \sqrt{3^2 + {(-3)}^2} \\[0.5em] &= \sqrt{18} \\[0.5em] &= 3 \cdot \sqrt{2}. \end{align*}

Berechnung des Arguments
Das Argument \(\varphi\) kann beispielsweise mit dem Arkuskosinus berechnet werden. Da der Imaginärteil kleiner als \(0\) ist, wird der entsprechende Fall für \(b \lt 0\) verwendet:

\begin{align*} \varphi &= 2\pi - \arccos\left(\frac{a}{r}\right) \\[0.5em] &= 2\pi - \arccos\left(\frac{3}{3 \cdot \sqrt{2}}\right) \\[0.5em] &= 2\pi - \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\[0.5em] &= 2\pi - \frac{\pi}{4} \\[0.5em] &= \frac{7\pi}{4}\,. \end{align*}

Alternativ hätte auch der Arkustangens zur Berechnung des Arguments \(\varphi\) benutzt werden können – für den entsprechenden Fall \(a\gt 0\) und \(b \lt 0\):

\begin{align*} \varphi &= \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + 2\pi\\[0.5em] &= \arctan\left(\frac{-3}{3}\right) + 2\pi \\[0.5em] &= \arctan\left(-1\right) + 2\pi\\[0.5em] &= -\frac{\pi}{4} + 2\pi\\[0.5em] &= \frac{7\pi}{4}\,. \end{align*}

Ergebnis
Für die Polarform der komplexen Zahl \(z = 3-3i\) gilt folglich:

\begin{align*} z &= 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) \right) \\[0.5em] &= 3 \cdot \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac{7\pi}{4}}. \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die komplexe Zahl \(z = i\) in algebraischer Form, die in Polarform umgerechnet werden soll. Hierzu müssen Betrag und Argument der Zahl \(z\) berechnet werden. Es gilt \(a=0\) und \(b=1\).

Berechnung des Betrags
Der Betrag \(r\) kann wie folgt berechnet werden:

\begin{align*} r = |z| &= \sqrt{a^2 + b^2} \\[0.5em] &= \sqrt{0^2 + 1^2} \\[0.5em] &= \sqrt{1} \\[0.5em] &= 1. \end{align*}

Berechnung des Arguments
Das Argument \(\varphi\) kann beispielsweise mit dem Arkuskosinus berechnet werden. Da der Imaginärteil größer als \(0\) ist, wird der entsprechende Fall für \(b \geq 0\) verwendet:

\begin{align*} \varphi &= \arccos\left(\frac{a}{r}\right) \\[0.5em] &= \arccos\left(\frac{0}{1}\right) \\[0.5em] &= \arccos\left(0\right) \\[0.5em] &= \frac{\pi}{2}\,. \end{align*}

Alternativ hätte auch der Arkustangens zur Berechnung des Arguments \(\varphi\) benutzt werden können – für den Spezialfall \(a = 0\) und \(b \gt 0\):

\varphi = \frac{\pi}{2}\,.

Ergebnis
Für die Polarform der komplexen Zahl \(z = i\) gilt folglich:

\begin{align*} z &= \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \\[0.5em] &= e^{i \cdot \frac{\pi}{2}}. \end{align*}