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Kosekans hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Kosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: csch) kann direkt aus der Definition der Kosekans-hyperbolicus-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Kosekans-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ als Kehrwert der Sinus-hyperbolicus-Funktion dargestellt werden:

\csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)}

Ableitungsregel

Die Ableitung der Kosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: csch) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \Bigl[ \csch(x) \Bigr]' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \csch(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\frac{\cosh(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\csch^2(x)}{\sech(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\coth(x)}{\sinh(x)} \\[0.75em] &= -\csch(x) \cdot \coth(x) \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Kosekans-hyperbolicus-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Kosekans-hyperbolicus-Funktion der Kehrwert der Sinus-hyperbolicus-Funktion ist. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden folglich die Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion sowie die Reziprokenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst und umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \csch(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{\sinh(x)} \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} -\frac{\frac{d}{dx} \bigl[ \sinh(x) \bigr]}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -\frac{\cosh(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} -\frac{\csch^2(x)}{\sech(x)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} -\frac{\coth(x)}{\sinh(x)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} -\csch(x) \cdot \coth(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Einsetzen der Definition der Kosekans-hyperbolicus-Funktion
(2)	Anwenden der Reziprokenregel
(3)	Anwenden der Ableitungsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion
(4)	Ersetzen von $\cosh(x)$ durch $\frac{1}{\sech(x)}$ gemäß Definition der Sekans-hyperbolicus-Funktion Ersetzen von $\sinh(x)$ durch $\frac{1}{\csch(x)}$ gemäß Definition der Kosekans-hyperbolicus-Funktion
(5)	Ausgehend von (3): Ersetzen von $\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$ durch $\coth(x)$ gemäß Definition der Kotangens-hyperbolicus-Funktion
(6)	Ersetzen von $\frac{1}{\sinh(x)}$ durch $\csch(x)$ gemäß Definition der Kosekans-hyperbolicus-Funktion

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Kosekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \csch(3x)

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \csch(3x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\csch(3x) \cdot \coth(3x) \cdot {\Bigl[ 3x \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\csch(3x) \cdot \coth(3x) \cdot 3 \\[0.75em] &= -3 \cdot \csch(3x) \cdot \coth(3x) \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Kosekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \csch\left( x^5 \right)

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \csch\left( x^5 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\csch\left(x^5\right) \cdot \coth\left(x^5\right) \cdot {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\csch\left(x^5\right) \cdot \coth\left(x^5\right) \cdot 5x^4 \\[0.75em] &= -5 \cdot \csch\left(x^5\right) \cdot \coth\left(x^5\right) \cdot x^4 \end{align*}