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Multiplikation von Polynomen

Bei der Polynommultiplikation wird das Produkt von zwei Polynomen berechnet, indem die Polynome mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes ausmultipliziert werden. Alternativ kann das Produkt berechnet werden, indem schrittweise die Koeffizienten der im Produkt auftretenden Potenzen berechnet werden.

Definition

Gegeben seien zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$, deren Koeffizienten aus einem Ring $\mathcal{R}$ stammen.

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k} = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \ldots + b_mx^m \end{align*}

Das Produkt der beiden Polynome kann durch Ausmultiplizieren mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes berechnet werden, indem jeder Term $a_ix^i$ des Polynoms $a(x)$ mit jedem Term $b_kx^k$ des Polynoms $b(x)$ multipliziert und anschließend aufsummiert wird:

a(x) \cdot b(x) = \sum\limits_{i=0}^{n}{\sum\limits_{k=0}^{m}{a_i \cdot b_k \cdot x^{i+k}}}.

Alternativ kann das Produkt der Polynome auch potenzweise berechnet werden, indem nacheinander diejenigen Terme aus $a(x)$ bzw. $b(x)$ multipliziert und aufsummiert werden, die $x^0,x^1,\ldots,x^{m+n}$ ergeben:

\begin{align*} a(x) \cdot b(x) &= \sum\limits_{i=0}^{n+m}{\left( \sum\limits_{k=0}^{i}{a_k \cdot b_{i-k}} \right) \cdot x^i} \\[0.5em] &= \bigl( a_0b_0 \bigr) + \bigl( a_0b_1 + a_1b_0 \bigr) x + \bigl( a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \bigr) x^2 + \ldots \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$:

\begin{align*} a(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 3 \\[0.5em] b(x) &= x^2 + x - 1 \end{align*}

Die Berechnung des Produkts $a(x) \cdot b(x)$ geschieht durch Ausmultiplizieren mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes:

\begin{align*} a(x) \cdot b(x) &= \bigl(x^3 + 2x^2 - 5x + 3\bigr) \cdot \bigl( x^2 + x - 1 \bigr) \\[0.5em] &= x^3 \cdot x^2 + x^3 \cdot x + x^3 \cdot (-1) \\[0.5em] &\quad{} + 2x^2 \cdot x^2 + 2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-1) \\[0.5em] &\quad{} + (-5x) \cdot x^2 + (-5x) \cdot x + (-5x) \cdot (-1) \\[0.5em] &\quad{} + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot x + 3 \cdot (-1) \\[0.5em] &= x^5 + 3x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 8x - 3 \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$:

\begin{align*} a(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 3 \\[0.5em] b(x) &= x^2 + x - 1 \end{align*}

Die Berechnung des Produkts $a(x) \cdot b(x)$ geschieht, indem zunächst der Koeffizient für $x^0$ berechnet wird, anschließend der Koeffizient für $x^1,x^2,\ldots$, bis schließlich der Koeffizient für die höchste im Produkt vorkommende Potenz $x^{3+2}=x^5$ berechnet wird. Für die Berechnung des Koeffizienten von $x^k$ werden hierbei die Koeffizienten der Potenzen $x^i$ und $x^j$ der Polynome $a(x)$ und $b(x)$ multipliziert und aufsummiert, für die $i+j=k$ gilt:

\begin{align*} a(x) \cdot b(x) &= \Bigl( 3 \cdot (-1) \Bigr) \cdot x^0 \\[0.5em] &\quad{} + \Bigl( (-5) \cdot (-1) + 3 \cdot 1 \Bigr) \cdot x^1 \\[0.5em] &\quad{} + \Bigl( 2 \cdot (-1) + (-5) \cdot 1 + 3 \cdot 1 \Bigr) \cdot x^2 \\[0.5em] &\quad{} + \Bigl( 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + (-5) \cdot 1 \Bigr) \cdot x^3 \\[0.5em] &\quad{} + \Bigl( 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \Bigr) \cdot x^4 \\[0.5em] &\quad{} + \Bigl( 1 \cdot 1 \Bigr) \cdot x^5 \\[0.5em] &= x^5 + 3x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 8x - 3 \end{align*}

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Eigenschaften

Assoziativität

Die Multiplikation von Polynomen $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ ist assoziativ; es gilt:

\Bigl( a(x) \cdot b(x) \Bigr) \cdot c(x) = a(x) \cdot \Bigl( b(x) \cdot c(x) \Bigr).

Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Die Assoziativität der Multiplikation von Polynomen kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Hierzu seien $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ drei Polynome mit Koeffizienten aus einem Ring $\mathcal{R}$. Es gilt:

\begin{align*} \Bigl(a(x) \cdot b(x) \Bigr) \cdot c(x) &\overset{(1)}{=} \left(\left(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k}\right) \cdot \left(\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k}\right)\right) \cdot \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \left( \sum\limits_{k=0}^{n+m}{\smash[b]{\underbrace{\left(\sum\limits_{i=0}^{k}{a_i\,b_{k-i}}\right)}_{=\ \gamma_k}}\, x^k } \right) \cdot \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \\[2em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n+m+r}{\left( \sum\limits_{i=0}^{k}{\smash[b]{\underbrace{\left( \sum\limits_{\ell=0}^{i}{a_{\ell}\,b_{i-\ell}} \right)}_{=\ \gamma_i}} \cdot c_{k-i}} \right) \, x^k} \\[2em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n+m+r}{\left( \sum\limits_{i=0}^{k}{ \sum\limits_{\ell=0}^{i}{a_{\ell}\,b_{i-\ell}}\,c_{k-i}} \right) \, x^k} \\[0.7em] &\overset{(5)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n+m+r}{\left( \sum\limits_{i=0}^{k}{ \sum\limits_{\ell=0}^{k-i}{a_i\,b_{\ell}}\,c_{k-i-\ell}} \right) \, x^k} \\[0.7em] &\overset{(6)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n+m+r}{\left( \sum\limits_{i=0}^{k}{\left( a_i \cdot \smash[b]{\underbrace{\sum\limits_{\ell=0}^{k-i}{b_{\ell}\,c_{k-i-\ell}}}_{=\ \delta_{k-i}}} \right)} \right) \, x^k} \\[2em] &\overset{(7)}{=} \left(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k}\right) \cdot \left(\sum\limits_{k=0}^{m+r}{ \smash[b]{\underbrace{\left(\sum\limits_{i=0}^{k}{b_i\,c_{k-i}}\right)}_{=\ \delta_k}}\, x^k}\right) \\[2em] &\overset{(8)}{=} \left(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k}\right) \cdot \left(\left(\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k}\right) \cdot \left(\sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k}\right)\right) \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} a(x) \cdot \Bigl( b(x) \cdot c(x) \Bigr) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Polynome $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ durch die entsprechenden Summen
(2)	Ausrechnen von $a(x) \cdot b(x)$ gemäß Definition der Multiplikation von Polynomen Bei $\gamma_k$ handelt es sich (zur besseren Wiedererkennung) um den Koeffizienten von $x^k$ im Produkt $a(x) \cdot b(x)$
(3)	Multiplikation von $a(x) \cdot b(x)$ mit $c(x)$ gemäß Definition der Multiplikation von Polynomen
(4)	Hineinziehen des (konstanten) Faktors $c_{k-i}$ in die innerste Summe Die Umformung gilt aufgrund der (Rechts-)Distributivität im Ring $\mathcal{R}$ und der Tatsache, dass $c_{k-i}$ für die innerste Summe ein konstanter Faktor ist
(5)	Ändern der Summationsreihenfolge der inneren Doppelsumme Die Gültigkeit der Umformungen folgt aus der Assoziativität und Kommutativität der Addition im Ring $\mathcal{R}$ und kann durch Nachrechnen leicht überprüft werden
(6)	Herausziehen des (konstanten) Faktors $a_i$ aus der innersten Summe Die Umformung gilt aufgrund der (Links-)Distributivität im Ring $\mathcal{R}$ und der Tatsache, dass $a_i$ in der innersten Summe ein konstanter Faktor ist Bei $\delta_k$ handelt es sich (zur besseren Wiedererkennung) um den Koeffizienten von $x^k$ im Produkt $b(x) \cdot c(x)$
(7)	Aufspalten des Produkts $a(x) \cdot b(x) \cdot c(x)$ in die Faktoren $a(x)$ und $b(x) \cdot c(x)$ gemäß der Definition der Multiplikation von Polynomen (jeweils in Summendarstellung)
(8)	Aufspalten des Produkts $b(x) \cdot c(x)$ in die Faktoren $b(x)$ und $c(x)$ gemäß der Definition der Multiplikation von Polynomen (jeweils in Summendarstellung)
(9)	Ersetzen der Summen durch die Polynome $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$

Kommutativität

Die Multiplikation von Polynomen $a(x)$ und $b(x)$ ist kommutativ, falls es sich beim Ring $\mathcal{R}$ um einen kommutativen Ring handelt; es gilt:

a(x) \cdot b(x) = b(x) \cdot a(x).

Die Kommutativität der Multiplikation von Polynomen kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Hierzu seien $a(x)$ und $b(x)$ zwei Polynome mit Koeffizienten aus einem kommutativen Ring $\mathcal{R}$. Es gilt:

\begin{align*} a(x) \cdot b(x) &\overset{(1)}{=} \left(\sum\limits_{i=0}^{n}{a_i\,x^i}\right) \cdot \left(\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k}\right) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sum\limits_{i=0}^{n}{\sum\limits_{k=0}^{m}{a_i\,b_k\,x^{i+k}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=0}^{m}{\sum\limits_{i=0}^{n}{b_k\,a_i\,x^{k + i}}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \left(\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k}\right) \cdot \left(\sum\limits_{i=0}^{n}{a_i\,x^i}\right) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} b(x) \cdot a(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Polynome $a(x)$ und $b(x)$ durch die entsprechenden Summen
(2)	Definition der Multiplikation von Polynomen
(3)	$a_ib_k = b_ka_i$ gilt aufgrund der Kommutativität der Multiplikation im kommutativen Ring $\mathcal{R}$ $i+k=k+i$ gilt aufgrund der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen Vertauschen der Summationsreihenfolge der Doppelsumme
(4)	Definition der Multiplikation von Polynomen
(5)	Ersetzen der Summen durch die Polynome $a(x)$ und $b(x)$

Distributivität

Die Multiplikation von Polynomen ist distributiv über der Polynomaddition bzw. der Polynomsubtraktion; es gilt:

\begin{align*} a(x) \cdot \Bigl( b(x) \pm c(x) \Bigr) &= a(x) \cdot b(x) \pm a(x) \cdot c(x) \\[0.5em] \Bigl( a(x) \pm b(x) \Bigr) \cdot c(x) &= a(x) \cdot c(x) \pm b(x) \cdot c(x). \end{align*}

Die Linksdistributivität der Polynommultiplikation über der Polynomaddition bzw. -subtraktion kann wie folgt gezeigt werden:

\begin{align*} a(x) \cdot \Bigl( b(x) \pm c(x) \Bigr) &\overset{(1)}{=} \left( \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k} \pm \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \left( \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=0}^{\max(m,r)}{\bigl( b_k \pm c_k \bigr)\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{\sum\limits_{\ell=0}^{\max(m,r)}{a_k \cdot \bigl(b_\ell \pm c_\ell\bigr) \cdot x^{k+\ell}}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{\sum\limits_{\ell=0}^{\max(m,r)}{\bigl( a_k\,b_\ell\,x^{k+\ell} \pm a_k\,c_\ell\,x^{k+\ell} \bigr)}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{\sum\limits_{\ell=0}^{m}{a_k\,b_\ell\,x^{k+\ell}}} \pm \sum\limits_{k=0}^{n}{\sum\limits_{\ell=0}^{r}{a_k\,c_\ell\,x^{k+\ell}}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \left( \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k} \right) \pm \left( \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} a(x) \cdot b(x) \pm a(x) \cdot c(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Polynome $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ durch die entsprechenden Summen
(2)	Definition der Polynomaddition bzw. der Polynomsubtraktion.
(3)	Definition der Polynommultiplikation
(4)	Die Umformung gilt aufgrund der Distributivität im Ring $\mathcal{R}$: $\begin{align} a_k \cdot \bigl( b_\ell \pm c_\ell \bigr) \cdot x^{k+\ell} &= \bigl( a_k\,b_\ell \pm a_k\,c_\ell \bigr) \cdot x^{k+\ell} \\[0.5em] &= a_k\,b_\ell\,x^{k+\ell} \pm a_k\,c_\ell\,x^{k+\ell} \end{align}$
(5)	Aufteilen der Doppelsumme auf zwei Doppelsummen gemäß der Definition der Addition von Summen
(6)	Definition der Polynommultiplikation
(7)	Ersetzen der Summen durch die Polynome $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$

Der Nachweis der Rechtsdistributivität erfolgt (mit weitgehend identischen Erklärungen) analog:

\begin{align*} \Bigl( a(x) \pm b(x) \Bigr) \cdot c(x) &\overset{(1)}{=} \left( \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \pm \sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \left( \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{\bigl( a_k \pm b_k \bigr)\,x^k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \right)\\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{\sum\limits_{\ell=0}^{r}{\bigl(a_k \pm b_k\bigr) \cdot c_\ell \cdot x^{k+\ell}}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{\sum\limits_{\ell=0}^{r}{\bigl( a_k\,c_\ell\,x^{k+\ell} \pm b_k\,c_\ell\,x^{k+\ell} \bigr)}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sum\limits_{k=0}^{n}{\sum\limits_{\ell=0}^{r}{a_k\,c_\ell\,x^{k+\ell}}} \pm \sum\limits_{k=0}^{m}{\sum\limits_{\ell=0}^{r}{b_k\,c_\ell\,x^{k+\ell}}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \left( \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \right) \pm \left( \sum\limits_{k=0}^{m}{b_k\,x^k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=0}^{r}{c_k\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} a(x) \cdot c(x) \pm b(x) \cdot c(x) \end{align*}

Neutrales Element

Das konstante Polynom $1$ ist das neutrale Element der Polynommultiplikation, falls es sich beim Ring $\mathcal{R}$ um einen Ring mit Eins handelt, sodass das neutrale Element der Multiplikation enthalten ist; es gilt:

1 \cdot a(x) = a(x) = a(x) \cdot 1.

Das konstante Polynom $1$ ist linksneutral bezüglich der Polynommultiplikation, denn es gilt:

\begin{align*} 1 \cdot a(x) &\overset{(1)}{=} 1 \cdot \bigl( a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} (1 \cdot a_0) + (1 \cdot a_1)x + (1 \cdot a_2)x^2 + \ldots + (1 \cdot a_n)x^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a(x). \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass das konstante Polynom $1$ ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Polynommultiplikation:

\begin{align*} a(x) \cdot 1 &\overset{(1)}{=} \bigl( a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \bigr) \cdot 1 \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} (a_0 \cdot 1) + (a_1 \cdot 1)x + (a_2 \cdot 1)x^2 + \ldots + (a_n \cdot 1)x^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a(x). \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition des Polynoms $a(x)$
(2)	Die Umformung gilt, da die Multiplikation im Ring $\mathcal{R}$ assoziativ, kommutativ und distributiv ist.
(3)	Ausrechnen von $1 \cdot a_k$ bzw. $a_k \cdot 1$ ergibt $a_k$, da $1$ das neutrale Element der Multiplikation im Ring $\mathcal{R}$ ist.
(4)	Definition des Polynoms $a(x)$

Inverses Element

Das inverse Element eines Polynoms $a(x)$ bezüglich der Polynommultiplikation existiert im Allgemeinen nicht. Ein Polynom

a(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n

besitzt genau dann ein multiplikatives Inverses, wenn der Koeffizient $a_0$ im Ring $\mathcal{R}$ ein multiplikatives Inverses besitzt und wenn alle Koeffizienten $a_1,\ldots,a_n$ nilpotent sind, d. h., für jedes $a_i$ mit $1 \leq i \leq n$ existiert eine natürliche Zahl $N$, sodass $a_i^N=0_\mathcal{R}$ gilt.