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Restklasse

Unter der Restklasse einer Zahl $a$ modulo einer Zahl $m$ versteht man im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie die Menge aller Zahlen, die bei Division durch $m$ denselben Rest lassen wie die Zahl $a$.

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Definition
Beispiele

Definition

Gegeben seien eine ganze Zahl $a \in \Z$ sowie eine natürliche Zahl $m \in \N$. Bei der Restklasse von $\mathbf{a}$ modulo $\mathbf{m}$, die häufig als

{[a]}_m \quad\text{oder}\quad a+m\Z

geschrieben wird, handelt es sich um die Äquivalenzklasse von $a$ bezüglich der Kongruenzrelation $\equiv (\bmod{m})$. Sie umfasst alle ganzen Zahlen, die bei der Division durch $m$ denselben Rest wie $a$ lassen:

\begin{align*} {[a]}_m = a+m\Z &= \Bigl\{ b \mid b = a+k \cdot m \text{ für ein } k \in \Z \Bigr\} \\[0.5em] &= \Bigl\{ b \mid b \equiv a \pmod{m} \Bigr\}. \end{align*}

Ein Element einer Restklasse wird Repräsentant der Restklasse genannt; oftmals werden hierfür die Standardrepräsentanten $0,1,\ldots,m-1$ verwendet, bei denen es sich um das kleinste, nichtnegative Element der entsprechenden Restklasse handelt.

Die Menge aller Restklassen modulo $m$ bildet den Restklassenring $\Z_m$ bzw. $\Z/m\Z$. Handelt es sich beim Modul $m$ darüber hinaus um eine Primzahl $p$, so handelt es sich bei $\Z_p$ um einen Körper.

Eine Restklasse modulo $m$ heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu $m$ sind. Die Menge der primen Restklassen bildet die Einheitengruppe $\Z_m^\times$ bzw. ${(\Z/m\Z)}^\times$ des Restklassenrings $\Z_m$.

Beispiele

Bei der Restklasse ${[0]}_2$ handelt es sich um die Menge aller geraden ganzen Zahlen.
${[0]}_2 = \Bigl\{ \ldots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \ldots \Bigr\}$
Bei der Restklasse ${[1]}_2$ handelt es sich um die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen.
${[1]}_2 = \Bigl\{ \ldots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \ldots \Bigr\}$
Bei der Restklasse ${[3]}_5$ handelt es sich um alle ganzen Zahlen, die bei Division durch $5$ den Rest $3$ lassen.
${[3]}_5 = \Bigl\{ \ldots, -12, -7, -2, 3, 8, 13, \ldots \Bigr\}$
Bei der Restklasse ${[0]}_m$ handelt es sich um die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von $m$.
${[0]}_m = \Bigl\{ \ldots, -3m, -2m, -m, 0, m, 2m, 3m, \ldots \Bigr\}$