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Erweitern und Kürzen von Wurzeln (Wurzelgesetz V)

Bei Wurzelgesetz V zum Erweitern einer Wurzel bzw. zum Kürzen einer Wurzel – genauer: zum Erweitern und Kürzen der Wurzelexponenten – handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie der Wurzelexponent einer Wurzel angepasst werden kann. Dies ist beispielsweise notwendig, um Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten gleichnamig zu machen, damit diese sich mithilfe von Wurzelgesetz I-a multiplizieren oder mithilfe von Wurzelgesetz I-b dividieren lassen.

Definition

Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$, eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein reeller Exponent $m \in \R$.

Beim Erweitern einer Wurzel wird sowohl der Wurzelexponent als auch der Exponent des Radikanden mit derselben natürlichen Zahl $p \in \N$ multipliziert. Umgekehrt wird beim Kürzen einer Wurzel sowohl der Wurzelexponent als auch der Exponent des Radikanden durch denselben gemeinsamen Faktor geteilt. Es gilt:

\[ \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot p]{x^{m \cdot p}} \]

In Worten: Beim Erweitern werden der Wurzelexponent und der Exponent des Radikanden mit demselben Wert multipliziert. Beim Kürzen werden diese analog mit demselben Wert dividiert.

Die Rechenregel zum Erweitern bzw. Kürzen einer Wurzel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für nichtnegative reelle Radikanden $x \in \R$ (mit $x \neq 0$ für $m \lt 0$), beliebige natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$ und beliebige natürliche, ganze, rationale oder reelle Exponenten $m$;
  • für negative reelle Radikanden $x \in \R$ und natürliche oder ganzzahlige Exponenten $m$, falls $m$ gerade ist und/oder $p$ und $n$ beide ungerade sind.

Hinweis: Für negative Radikanden und rationale bzw. reelle Exponenten ist die Potenz in vielen Fällen gar nicht definiert. Für die verbleibenden Fälle existieren beim Erweitern viele Konstellationen, die den Wert der Wurzel verändern, sodass diese Fälle für dieses Rechengesetz ausgeschlossen werden.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird die Kubikwurzel einer Variablen $a$ erweitert, indem sowohl der Wurzelexponent als auch der Exponent der Variablen mit dem gemeinsamen Faktor $4$ multipliziert werden.

\begin{align*} \sqrt[3]{a^2} &= \sqrt[3 \cdot 4]{a^{2 \cdot 4}} \\[0.5em] &= \sqrt[12]{a^8} \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Wurzelexponent um den Faktor $3$ gekürzt.

\begin{align*} \sqrt[6]{125} &= \sqrt[6]{5^3} \\[0.5em] &= \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} \\[0.5em] &= \sqrt{5} \end{align*}

Beispiel 3

Das dritte Beispiel zeigt exemplarisch, wie zwei Wurzeln mithilfe von Wurzelgesetz V gleichnamig gemacht werden können, um diese im Anschluss zu multiplizieren.

\begin{align*} \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} &= \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} \sqrt[6]{8 \cdot 9} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{72} \end{align*}

Hinweis: Im vorletzten Schritt $(\star)$ wurde Wurzelgesetz I-a verwendet, um die Wurzeln zusammenzufassen.

Beispiel 4

Beim vierten Beispiel handelt es sich um eine Warnung, um zu verdeutlichen, weshalb das Beachten der Gültigkeitsbereiche des Wurzelgesetzes essentiell ist: Werden diese missachtet, können leicht inhaltlich und mathematisch falsche Aussagen entstehen. Dies ist besonders kritisch, wenn sich die Vorzeichen hinter Variablen verstecken und nicht – wie im Beispiel – explizit sichtbar sind.

\begin{align*} \sqrt[3]{-8} &\overset{\unicode{x21af}}{=} \sqrt[3 \cdot 2]{{(-8)}^2} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{64} \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Das Erweitern mit $2$ hat das Vorzeichen des Radikanden verändert, sodass beim Ausrechnen der Wurzel das falsche Ergebnis $2$ anstelle des korrekten Ergebnisses $-2$ entsteht.

Beweis des Wurzelgesetzes

Das Wurzelgesetz zum Erweitern und Kürzen von Wurzeln (genauer: Wurzelexponenten) kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$, eine natürliche Zahl $n \in \N$, ein reeller Exponent $m \in \R$ sowie eine natürliche Zahl $p \in \N$, mit der erweitert werden soll. Es sei vorausgesetzt, dass die Potenz $x^m$ sowie die Wurzel selbst definiert sind. Darüber hinaus wird vorausgesetzt, dass einer der Fälle vorliegt, die in der Definition beschrieben sind.

Das Wurzelgesetz wird ausgehend von der Wurzel einer Potenz hergeleitet. Zunächst wird hierzu der Term $\sqrt[n]{x^m}$ betrachtet und umgeformt. Für $m=1$ entspricht dies der Wurzel $\sqrt[n]{x}$, sodass dieser Fall nicht separat betrachtet werden muss. Es gilt:

\begin{align*} \sqrt[n]{x^m} &\overset{(1)}{=} {\left( \sqrt[p]{\sqrt[n]{x^m}} \right)}^p \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl( \sqrt[n \cdot p]{x^m}\ \bigr)}^p \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sqrt[n \cdot p]{{\bigl( x^m \bigr)}^p} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[n \cdot p]{x^{m \cdot p}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben des Terms in die Form $ {\left( \sqrt[p]{\unicode{x2B1A}} \right)}^p$ mithilfe der Definition der Wurzel
(2)
(3)
(4)