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Wurzelgesetz V: Anpassung des Wurzelexponenten
Bei Wurzelgesetz V handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Wurzelexponent einer Wurzel angepasst werden kann.
Definition
Der Wurzelexponent einer Wurzel kann angepasst werden, indem der Wurzelexponent multipliziert und der Radikand entsprechend potenziert wird. Es gilt:
\[ \sqrt[m]{a^n} = \sqrt[m \cdot p]{a^{n \cdot p}} \]
Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:
- für reelle Zahlen $a \geq 0$, $n$ und natürliche Zahlen $m,p$.
Beispiele
Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Wurzelexponent um den Faktor \(4\) vergrößert.
\begin{align*} \sqrt[3]{a^2} &= \sqrt[3 \cdot 4]{a^{2 \cdot 4}} \\[0.5em] &= \sqrt[12]{a^8} \end{align*}
Beispiel 2
Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Wurzelexponent um den Faktor \(3\) reduziert.
\begin{align*} \sqrt[6]{125} &= \sqrt[6]{5^3} \\[0.5em] &= \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} \\[0.5em] &= \sqrt{5} \end{align*}
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Beweis
Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl \(a \in \R\) mit \(a \geq 0\) sowie drei natürliche Zahlen \(m,n,p \in \N\). Es gilt:
\begin{align*} \sqrt[m]{a^n} &\overset{(1)}{=} {\left( \sqrt[p]{\sqrt[m]{a^n}} \right)}^p \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\left( \sqrt[m \cdot p]{a^n}\ \right)}^p \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sqrt[m \cdot p]{{\left( a^n \right)}^p} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[m \cdot p]{a^{n \cdot p}} \end{align*}
| Erklärungen zu den Schritten | |
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