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Vorzeichenfunktion (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Vorzeichenfunktion (abgekürzt: sgn) lässt sich durch intervallweise Integration mithilfe einer Fallunterscheidung der Vorzeichenfunktion bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für Potenzen der Vorzeichenfunktion.

Grundlagen

Die Vorzeichenfunktion ist eine der grundlegenden Basisfunktionen. Sie ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\[ \sgn(x) = \begin{cases} -1 & (\text{für } x \lt 0) \\[0.75em] \phantom{-}0 & (\text{für } x = 0) \\[0.75em] \phantom{-}1 & (\text{für } x \gt 0) \end{cases} \]

Integrationsregeln

Die Stammfunktion der Vorzeichenfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\[ \int{\sgn(x)\ dx} = |x| + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Vorzeichenfunktion mit ganzzahligen Exponenten $n$ existiert darüber hinaus die folgende Integrationsregel. Hierbei ist zu beachten, dass diese für $n \geq 0$ für alle $x \in \R$ und für $n \lt 0$ für $x \in \R$ mit $x \neq 0$ gilt:

\[ \int{{\sgn}^n(x)\ dx} = \begin{cases} x + \mathcal{C} & (\text{falls } n \text{ gerade}) \\[0.75em] |x| + \mathcal{C} & (\text{falls } n \text{ ungerade}) \end{cases} \]

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Vorzeichenfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \sgn(6x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=6x$ substituiert, woraus sich $dt = 6\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{6}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\sgn(6x)\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot \int{\sgn(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot |t| \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot |6x| \\[0.75em] &= |x| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Vorzeichenfunktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \sgn\bigl(x^3 - 1\bigr) \cdot x^2 \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^3-1$ substituiert, woraus sich $dt = 3x^2\ dx$ bzw. $x^2\ dx = \frac{1}{3}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\sgn\bigl(x^3 - 1\bigr) \cdot x^2\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \int{\sgn(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot |t| \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \bigl|x^3 - 1\bigr| + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von sgn(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Vorzeichenfunktion erfolgt mithilfe einer Fallunterscheidung. Da die Vorzeichenfunktion stückweise definiert ist, werden die drei Fälle zunächst separat integriert und die Ergebnisse anschließend zu einer gemeinsamen Formel zusammengeführt.

Fall 1: x > 0

Für $x \gt 0$ gilt stets $\sgn(x) = 1$. Das Integral kann somit unmittelbar bestimmt werden.

\begin{align*} \int{\sgn(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Auflösen der Vorzeichenfunktion für den Fall $x \gt 0$
(2)

Fall 2: x < 0

Für $x \lt 0$ gilt stets $\sgn(x) = -1$. Das Integral kann mithilfe der Faktorregel für Integrale bestimmt werden.

\begin{align*} \int{\sgn(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{-1\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} -\int{1\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -x + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Auflösen der Vorzeichenfunktion für den Fall $x \lt 0$
(2)
(3)

Fall 3: x = 0

Für $x = 0$ gilt $\sgn(x) = 0$. Das Integral kann somit direkt bestimmt werden.

\begin{align*} \int{\sgn(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{0\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} 0 + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Auflösen der Vorzeichenfunktion für den Fall $x = 0$
(2)
  • Das Integral der Konstanten Null ist Null
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Zusammenführung der drei Fälle

Die gefundenen Lösungen gelten jeweils nur für ihren Fall. Als Gesamtlösung ergibt sich somit zunächst die folgende Fallunterscheidung:

\[ \int{\sgn(x)\ dx} = \begin{cases} -x + \mathcal{C} & (\text{für } x \lt 0) \\[0.75em] \phantom{-}0 + \mathcal{C} & (\text{für } x = 0) \\[0.75em] \phantom{-}x + \mathcal{C} & (\text{für } x \gt 0) \end{cases} \]

Für $x \gt 0$ gilt stets $x = |x|$, für $x \lt 0$ gilt $-x = |x|$ und es gilt $0 = |0|$. Folglich lassen sich alle Fälle der Integrationsregel mithilfe der Betragsfunktion darstellen; zusammenfassend gilt somit:

\[ \int{\sgn(x)\ dx} = |x| + \mathcal{C} \]

Herleitung der Integrationsregel von sgnn(x)

Für ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$ können Potenzen der Vorzeichenfunktion mithilfe einer Fallunterscheidung integriert werden. Für $x \neq 0$ gilt stets $\sgn(x) = -1$ oder $\sgn(x) = 1$. Für ganzzahlige Exponenten hängt der Wert der Potenz neben dem Vorzeichen von $x$ vor allem von der Parität des Exponenten $n$ ab – also von der Frage, ob der Exponent gerade oder ungerade ist.

Fall 1: x ≠ 0 und gerader Exponent n

Für gerade Exponenten $n \in \Z$ gilt stets $ {(\pm 1)}^n = 1$. Das Integral kann somit unmittelbar aufgelöst werden. Es gilt:

\begin{align*} \int{{\sgn}^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{{\bigl(\pm 1\bigr)}^n\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{1\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Auflösen der Vorzeichenfunktion für den Fall $x \neq 0$
(2)
  • Ausrechnen der Potenz
  • Für gerade $n$ gilt stets $ {(\pm 1)}^n = 1$
(3)

Fall 2: x ≠ 0 und ungerader Exponent n

Für ungerade Exponenten $n \in \Z$ gilt stets $ {(-1)}^n = -1$ und $1^n=1$. Der Wert der Potenz der Vorzeichenfunktion entspricht somit dem Wert der Vorzeichenfunktion selbst. Das Integral direkt aufgelöst werden. Es gilt:

\begin{align*} \int{{\sgn}^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\sgn(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} |x| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Für ungerades $n$ gilt $\sgn^n(x) = \sgn(x)$
(2)
  • Anwenden der Integrationsregel der Vorzeichenfunktion
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Fall 3: x = 0

Für den Fall $x=0$ gilt $\sgn(x)=\sgn(0)=0$. In diesem Fall hängt der Wert der Potenz $\sgn^n(0)$ nicht von der Parität des Exponenten $n$ ab, sondern von dessen Vorzeichen.

  • Fall 3a: n > 0

    Für positive Exponenten $n$ gilt stets $0^n = 0$. In diesem Fall gilt:

    \begin{align*} \int{{\sgn}^n(x)\ dx} &= \int{0\ dx} \\[0.75em] &= 0 + \mathcal{C} \end{align*}

    Dies entspricht den gefundenen Formeln der Fälle 1 und 2, wenn in diese $x=0$ eingesetzt wird.

  • Fall 3b: n < 0

    Für negative Exponenten $n$ ist die Potenz $0^n$ nicht definiert, da es sich um eine Division durch $0$ handelt.

  • Fall 3c: n = 0

    Für den Exponenten $n=0$ gilt definitionsgemäß $0^0 = 1$. Da $n=0$ ein gerader Exponent ist, gilt wie in Fall 1:

    \begin{align*} \int{{\sgn}^n(x)\ dx} &= \int{1\ dx} \\[0.75em] &= x + \mathcal{C} \end{align*}

    Für $x=0$ ergibt die Stammfunktion den Wert $0 + \mathcal{C}$, was ebenfalls den gefundenen Formeln der Fälle 1 und 2 entspricht.

Hinweis: Aus den Fällen 3a und 3c ergibt sich, dass die Formeln aus den Fällen 1 und 2 für $n \geq 0$ ebenfalls für $x=0$ gelten.