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Potenz (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Potenzfunktion (abgekürzt: pow, xn ) lässt sich direkt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Potenzfunktion bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für Potenzen der Potenzfunktion.

Grundlagen

Die Potenzfunktion ist eine der grundlegenden Basisfunktionen. Aus der Ableitungsregel der Potenzfunktion folgt, dass es sich bei ihrer Ableitung ebenfalls um eine Potenzfunktion handelt.

\[ \frac{d}{dx} \Bigl[ x^n \Bigr] = n \cdot x^{n-1} \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Potenzfunktion ist für alle $x \in \R$ mit reellen Exponenten $n \in \R$ mit $n \neq -1$ wie folgt definiert:

\[ \int{x^n\ dx} = \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + \mathcal{C} \]

Für den Spezialfall $n = -1$ gilt für die Stammfunktion der Potenzfunktion:

\[ \int{x^{-1}\ dx} = \int{\frac{1}{x}\ dx} = \ln|x| + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Potenzfunktion mit reellen Exponenten $n, m \in \R$ und $n \cdot m \neq -1$ gilt darüber hinaus die folgende Integrationsregel:

\[ \int{{\left( x^n \right)}^m\ dx} = \frac{1}{n \cdot m + 1} \cdot x^{n \cdot m + 1} + \mathcal{C} \]

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = x^5 \]

Mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung:

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{x^5\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{5+1} \cdot x^{5+1} \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot x^6 + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = x^{-\frac{3}{2}} \]

Mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung:

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{x^{-\frac{3}{2}}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{-\frac{3}{2}+1} \cdot x^{-\frac{3}{2}+1} \\[0.75em] &= \frac{1}{-\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\[0.75em] &= -2 \cdot x^{-\frac{1}{2}} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \frac{1}{x} \]

Da es sich um den Spezialfall $n = -1$ handelt, gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{x}\ dx} \\[0.75em] &= \ln|x| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 4

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:

\[ k(x) = {\left( x^3 \right)}^4 \]

Mithilfe von Potenzgesetz III können die Exponenten zunächst zusammengefasst werden. Anschließend kann die Integrationsregel der Potenzfunktion direkt angewendet werden:

\begin{align*} \int{k(x)\ dx} &= \int{{\left( x^3 \right)}^4\ dx} \\[0.75em] &= \int{x^{3 \cdot 4}\ dx} \\[0.75em] &= \int{x^{12}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{13} \cdot x^{13} + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von xn

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Potenzfunktion erfolgt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Potenzfunktion. Für den Exponenten $n+1$ (mit $n \neq -1$) ergibt sich aus der Ableitungsregel die folgende Umformung:

\begin{align*} \bigl( n+1 \bigr) \cdot x^n &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[ x^{n+1} \Bigr] \\[0.75em] x^n &\overset{(2)}{=} \frac{1}{n+1} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ x^{n+1} \Bigr] \\[1.5em] \Rightarrow\quad \int{x^n\ dx} &\overset{(3)}{=} \frac{1}{n+1} \cdot \int{\frac{d}{dx}\Bigl[ x^{n+1} \Bigr]\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Multiplikation der Gleichung mit $\frac{1}{n+1}$
(3)
  • Integration beider Seiten der Gleichung nach $x$
  • Herausziehen des konstanten Faktors $\frac{1}{n+1}$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
(4)
  • Auswerten des Integrals: Die Stammfunktion von $\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr]$ ist $f(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Spezialfall: n = -1

Für $n = -1$ ist die vorausgehende Herleitung nicht anwendbar, da in Schritt (2) dann durch Null dividiert werden würde. Stattdessen erfolgt die Herleitung in diesem Fall durch Umkehrung der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion. Es gilt:

\begin{align*} \frac{1}{x} &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[ \ln|x| \Bigr] \\[1.5em] \Rightarrow\quad \int{\frac{1}{x}\ dx} &\overset{(2)}{=} \int{\frac{d}{dx}\Bigl[ \ln|x| \Bigr]\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \ln|x| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Integration beider Seiten der Gleichung nach $x$
(3)
  • Auswerten des Integrals: Die Stammfunktion von $\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr]$ ist $f(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Der Betrag $|x|$ im Argument der Logarithmusfunktion ist notwendig, da $x^{-1} = \frac{1}{x}$ für alle $x \neq 0$ definiert ist – also sowohl für $x \gt 0$ als auch für $x \lt 0$ – während der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist. Mithilfe des Betrags gilt die Stammfunktion $\ln|x|$ entsprechend für alle $x \neq 0$.

Herleitung der Integrationsregel von (xn)m

Die Herleitung der Integrationsregel für Potenzen der Potenzfunktion erfolgt durch Anwenden von Potenzgesetz III, das die doppelte Potenz auflöst. Anschließend kann die Integrationsregel der Potenzfunktion direkt angewendet werden. Es gilt:

\begin{align*} \int{{\left( x^n \right)}^m\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{x^{n \cdot m}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{n \cdot m + 1} \cdot x^{n \cdot m + 1} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Anwenden der Integrationsregel der Potenzfunktion
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Für den Spezialfall $n \cdot m = -1$ greift die Integrationsregel für $x^{-1}$ und es gilt:

\[ \int{{\left( x^n \right)}^m\ dx} = \int{x^{-1}\ dx} = \ln|x| + \mathcal{C} \]