Teilmenge

Die Begriffe Teilmenge (bzw. Untermenge) und Obermenge beschreiben eine Beziehung (eine Relation) zwischen zwei Mengen. Bei einer Teilmenge handelt es sich um einen Teil einer Menge.

Definitionen

Teilmenge

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Bei einer Menge $A$ handelt es sich um eine Teilmenge von $B$, falls jedes Element der Menge $A$ ebenfalls in der Menge $B$ enthalten ist. Ist $A$ eine Teilmenge von $B$, so wird dies als $A \subseteq B$ geschrieben und es gilt:

Die Menge $B$ wird Obermenge von $A$ genannt. Die Teilmengenbeziehung $\subseteq$ wird auch Inklusion genannt.

Echte Teilmenge

Existiert in der Menge $B$ zusätzlich mindestens ein Element, das nicht in der Menge $A$ enthalten ist, so wird $A$ eine echte Teilmenge von $B$ genannt; dies wird als $A \subset B$ geschrieben. Es gilt:

Die Menge $B$ wird echte Obermenge von $A$ genannt. Die echte Teilmengenbeziehung $\subset$ wird auch strenge Inklusion genannt.

Notation

Es existieren die folgenden Schreib- und Sprechweisen:

• $A \subseteq B$: $A$ ist eine Teilmenge von $B$.
• $A \subset B$: $A$ ist eine echte Teilmenge von $B$.
• $A \not\subseteq B$: $A$ ist keine Teilmenge von $B$.
• $A \supseteq B$: $A$ ist eine Obermenge von $B$.
• $A \supset B$: $A$ ist eine echte Obermenge von $B$.
• $A \not\supseteq B$: $A$ ist keine Obermenge von $B$.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{ 1,2 \bigr\}$ und $B = \bigl\{ 1,2,3 \bigr\}$. Da jedes Element von $A$ auch in $B$ enthalten ist, ist $A$ eine Teilmenge von $B$. Da die Mengen $A$ und $B$ nicht identisch sind, ist $A$ sogar eine echte Teilmenge von $B$. Entsprechend ist $B$ eine echte Obermenge von $A$. Insbesondere ist $B$ keine Teilmenge der Menge $A$.

Beispiel 2

Gegeben seien die Mengen $A = \emptyset$ und $B = \bigl\{1\bigr\}$. Die Menge $A$ ist eine Teilmenge der Menge $B$, da die leere Menge $\emptyset$ eine Teilmenge jeder Menge ist. Die Menge $A$ ist sogar eine echte Teilmenge von $B$, da die Menge $B$ nichtleer und somit ungleich der Menge $A$ ist.

Beispiel 3

Die Menge aller Primzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge $\N$ der natürlichen Zahlen.

Beispiel 4

Die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge $\R$ der reellen Zahlen.

Beispiel 5

Die Menge der regulären Polygone ist eine echte Teilmenge der Menge aller Polygone.

Eigenschaften

• Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge $A$:
  \[ \emptyset \subseteq A. \]
• Jede Menge $A$ ist eine Teilmenge von sich selbst:
  \[ A \subseteq A. \]
• Für Mengen $A$ und $B$ besteht der folgende Zusammenhang zwischen der Inklusion $\subseteq$ und der Vereinigung $\cup$:
  \[ A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B. \]
• Für Mengen $A$ und $B$ besteht der folgende Zusammenhang zwischen der Inklusion $\subseteq$ und dem Schnitt $\cap$:
  \[ A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A. \]
• Für Mengen $A$ und $B$ besteht der folgende Zusammenhang zwischen der Inklusion $\subseteq$ und der Differenz $\setminus$:
  \[ A \subseteq B \Leftrightarrow A \setminus B = \emptyset. \]
• Zwei Mengen $A$ und $B$ sind genau dann gleich, wenn beide eine Teilmenge der jeweils anderen Menge sind:
  \[ A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A. \]
  Diese Regel wird oft zum Nachweis der Gleichheit zweier Mengen verwendet.
• Beim Übergang zum Komplement dreht sich die Richtung der Inklusion um:
  \begin{align*} A \subseteq B &\Leftrightarrow A^c \supseteq B^c \\[0.5em] A \subset B &\Leftrightarrow A^c \supset B^c. \end{align*}
• Bei der Schnittmenge $A \cap B$ von zwei Mengen $A$ und $B$ handelt es sich um eine Teilmenge von $A$ und um eine Teilmenge von $B$:
  \begin{align*} A \cap B &\subseteq A \\[0.5em] A \cap B &\subseteq B. \end{align*}
• Bei der Vereinigungsmenge $A \cup B$ von zwei Mengen $A$ und $B$ handelt es sich um eine Obermenge von $A$ und um eine Obermenge von $B$:
  \begin{align*} A \cup B &\supseteq A \\[0.5em] A \cup B &\supseteq B. \end{align*}