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Exponentialfunktion (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion (abgekürzt: exp) lässt sich direkt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Exponentialfunktion bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für Potenzen der Exponentialfunktion.

Grundlagen

Die Exponentialfunktion ist eine der grundlegenden Basisfunktionen. Aus der Ableitungsregel der Exponentialfunktion folgt, dass es sich bei $e^x$ um die Ableitung von $e^x$ und bei $a^x \cdot \ln(a)$ um die Ableitung von $a^x$ handelt.

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ e^x \Bigr] &= e^x \\[0.75em] \frac{d}{dx} \Bigl[ a^x \Bigr] &= a^x \cdot \ln(a) \end{align*}

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion (abgekürzt: exp) ist für alle $x \in \R$ wie folgt definiert:

\[ \int{e^x\ dx} = e^x + \mathcal{C} \]

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ ist für alle $x \in \R$ wie folgt definiert:

\[ \int{a^x\ dx} = \frac{1}{\ln(a)} \cdot a^x + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Exponentialfunktion mit reellen Exponenten $n \neq 0$ existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{{\left( e^x \right)}^n\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot {\left( e^x \right)}^n + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{{\left( a^x \right)}^n\ dx} &= \frac{1}{n \cdot \ln(a)} \cdot {\left( a^x \right)}^n + \mathcal{C} \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Exponentialfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = e^{7x} \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = 7x$ substituiert, woraus sich $dt = 7\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{7}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{e^{7x}\ dx} \\[0.75em] &= \int{e^t \cdot \frac{1}{7}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot \int{e^t\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot e^t \\[0.75em] &= \frac{1}{7} \cdot e^{7x} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Exponentialfunktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = e^{x^2+1} \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = x^2 + 1$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{e^{x^2+1} \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{e^t \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{e^t\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot e^t \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot e^{x^2+1} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Exponentialfunktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = 3^{4x+1} \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $h(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = 4x + 1$ substituiert, woraus sich $dt = 4\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{4}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &= \int{3^{4x+1}\ dx} \\[0.75em] &= \int{3^t \cdot \frac{1}{4}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot \int{3^t\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln(3)} \cdot 3^t \\[0.75em] &= \frac{1}{4 \cdot \ln(3)} \cdot 3^{4x+1} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 4

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Exponentialfunktion bestimmt werden soll:

\[ k(x) = {\bigl( e^x \bigr)}^{-5} \]

Da es sich um eine Potenz der Exponentialfunktion mit dem reellen Exponenten $n = -5$ handelt, kann die Integrationsregel für $ {\left(e^x\right)}^n$ direkt angewendet werden.

\begin{align*} \int{k(x)\ dx} &= \int{{\bigl( e^x \bigr)}^{-5}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{-5} \cdot {\bigl( e^x \bigr)}^{-5} \\[0.75em] &= -\frac{1}{5} \cdot {\bigl( e^x \bigr)}^{-5} + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von ex bzw. exp(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Exponentialfunktion erfolgt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Exponentialfunktion. Es gilt:

\begin{align*} e^x &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[e^x\Bigr] \\[1.5em] \Rightarrow\quad\int{e^x\ dx} &\overset{(2)}{=} \int{\frac{d}{dx}\Bigl[e^x\Bigr]\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} e^x + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition der Ableitungsregel der Exponentialfunktion
(2)
  • Integration beider Seiten der Gleichung nach $x$
(3)
  • Auswerten des Integrals: Die Stammfunktion von $\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr]$ ist $f(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von ax

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Exponentialfunktion mit einer beliebigen Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ erfolgt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Exponentialfunktion. Es gilt:

\begin{align*} a^x \cdot \ln(a) &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[ a^x \Bigr] \\[0.75em] a^x &\overset{(2)}{=} \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ a^x \Bigr] \\[1.5em] \Rightarrow\quad \int{a^x\ dx} &\overset{(3)}{=} \frac{1}{\ln(a)} \cdot \int{\frac{d}{dx}\Bigl[ a^x \Bigr]\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{\ln(a)} \cdot a^x + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition der Ableitungsregel der Exponentialfunktion
(2)
  • Multiplikation der Gleichung mit $\frac{1}{\ln(a)}$
(3)
  • Integration beider Seiten der Gleichung nach $x$
  • Herausziehen des Faktors $\frac{1}{\ln(a)}$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
(4)
  • Auswerten des Integrals: Die Stammfunktion von $\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr]$ ist $f(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von (ex)n bzw. expn(x)

Für reelle Exponenten $n \neq 0$ können Potenzen der Exponentialfunktion integriert werden, indem zunächst die Exponenten mithilfe von Potenzgesetz III zusammengefasst werden. Anschließende Integration durch Substitution liefert die gesuchte Integrationsregel.

\begin{align*} \int{{\left( e^x \right)}^n\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{e^{n \cdot x}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{e^t \cdot \frac{1}{n}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{n} \cdot \int{e^t\ dt} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{n} \cdot e^t \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{n} \cdot e^{n \cdot x} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{n} \cdot {\left( e^x \right)}^n + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Auflösen des Integrals mithilfe der Integrationsregel der Exponentialfunktion
(5)
  • Resubstitution von $t = n \cdot x$
(6)
  • Umschreiben zur doppelten Potenz mithilfe von Potenzgesetz III
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Für den Spezialfall $n=0$ kann die Stammfunktion wie folgt berechnet werden:

\[ \int{{\left(e^x\right)}^0\ dx} = \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \]

Herleitung der Integrationsregel von (ax)n

Für reelle Exponenten $n \neq 0$ können Potenzen der Exponentialfunktion mit einer beliebigen Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ integriert werden, indem zunächst die Exponenten mithilfe von Potenzgesetz III zusammengefasst werden. Anschließende Integration durch Substitution liefert die gesuchte Integrationsregel.

\begin{align*} \int{{\left( a^x \right)}^n\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{a^{n \cdot x}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{a^t \cdot \frac{1}{n}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{n} \cdot \int{a^t\ dt} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\ln(a)} \cdot a^t \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{n \cdot \ln(a)} \cdot a^{n \cdot x} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{n \cdot \ln(a)} \cdot {\left( a^x \right)}^n + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Auflösen des Integrals mithilfe der Integrationsregel der Exponentialfunktion mit Basis $a$
(5)
  • Resubstitution von $t = n \cdot x$
  • Zusammenfassen der Konstanten
(6)
  • Umschreiben zur doppelten Potenz mithilfe von Potenzgesetz III
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Für den Spezialfall $n=0$ kann die Stammfunktion wie folgt berechnet werden:

\[ \int{{\left(a^x\right)}^0\ dx} = \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \]