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Addition von Brüchen

Bei der Addition von Brüchen wird die Summe von zwei oder mehr Brüchen berechnet, indem diese, falls notwendig, zunächst gleichnamig gemacht und anschließend ihre Zähler addiert werden. Die Addition von Brüchen ist assoziativ und kommutativ. Die Null ist das neutrale Element der Addition; die negierten Brüche sind die additiven inversen Elemente.

Dieser Artikel konzentriert sich auf das Rechnen mit Brüchen. Formale Details zur Addition von rationalen Zahlen können im Artikel zur Addition von rationalen Zahlen nachgelesen werden.

Definition

Addition von Brüchen mit demselben Nenner

Gegeben seien zwei Brüche mit demselben Nenner (mit $a,b,c \in \Z$ und $b \neq 0$):

r_1 = \frac{a}{b}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{c}{b}.

Da die Brüche denselben Nenner besitzen und somit bereits gleichnamig sind, können sie unmittelbar addiert werden, indem ihre Zähler addiert werden und der gemeinsame Nenner beibehalten wird. Für die Summe von gleichnamigen Brüchen gilt somit:

\begin{align*} r_1 + r_2 &= \frac{a}{b} + \frac{c}{b} \\[0.75em] &= \frac{a + c}{b} \end{align*}

Hinweis: Dies gilt analog für die Summe von mehreren Brüchen mit demselben Nenner. Die Zähler werden addiert, der gemeinsame Nenner wird beibehalten.

Addition von Brüchen mit verschiedenen Nennern

Gegeben seien zwei Brüche mit verschiedenen Nennern (mit $a,b,c,d \in \Z$, $b \neq 0$ und $d \neq 0$):

r_1 = \frac{a}{b}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{c}{d}.

Da die Brüche verschiedene Nenner haben, können sie nicht direkt addiert werden, sondern müssen zunächst gleichnamig gemacht – also auf einen gemeinsamen Nenner gebracht – werden. Dieser ergibt sich beispielsweise als Produkt der beiden Nenner $b$ und $d$. Nachdem die beiden Brüche entsprechend erweitert wurden, kann die Summe berechnet werden, indem die erweiterten Zähler addiert werden und der erweiterte Nenner beibehalten wird – analog zum vorausgehenden Fall der Addition von Brüchen mit demselben Nenner. Für die Summe von Brüchen gilt somit:

\begin{align*} r_1 + r_2 &= \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \\[0.75em] &= \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} \\[0.75em] &= \frac{ad + bc}{bd} \end{align*}

Hinweis: Dies gilt analog für die Summe von mehreren Brüchen. Diese werden zunächst gleichnamig gemacht, anschließend werden die erweiterten Zähler addiert und der erweiterte Nenner wird beibehalten.

Hinweis: Anstelle des Produkts der Nenner kann auch jedes andere gemeinsame Vielfache zum Gleichnamig machen verwendet werden. Dies gilt insbesondere auch für das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Dieses bietet den Vorteil, dass alle während der Rechnung vorkommenden Werte so klein wie möglich bleiben.

Beispiele

Beispiel 1: Addition von zwei Brüchen mit demselben Nenner

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Summe von zwei Brüchen mit demselben Nenner berechnet. Gegeben seien die beiden Brüche

r_1 = \frac{2}{3}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{5}{3}.

Da die Nenner der beiden Brüche identisch sind, können die Brüche direkt addiert werden, indem die Zähler addiert werden und der gemeinsame Nenner beibehalten wird. Für die gesuchte Summe ergibt sich:

\begin{align*} r_1 + r_2 &= \frac{2}{3} + \frac{5}{3} \\[0.75em] &= \frac{2 + 5}{3} \\[0.75em] &= \frac{7}{3} \end{align*}

Beispiel 2: Addition von zwei Brüchen mit verschiedenen Nennern

Im zweiten Beispiel werden zwei Brüche mit verschiedenen Nennern addiert. Gegeben seien die beiden Brüche

r_1 = \frac{3}{2}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{4}{3}.

Da die Nenner verschieden sind, müssen die beiden Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden; sie müssen also auf denselben Nenner gebracht werden. Da die Nenner teilerfremd sind, bietet es sich an, ihr Produkt $2 \cdot 3 = 6$ als gemeinsamen Nenner zu verwenden. Hierzu muss der erste Bruch mit $3$ und der zweite Bruch mit $2$ erweitert werden. Anschließend kann die gesuchte Summe berechnet werden:

\begin{align*} r_1 + r_2 &= \frac{3}{2} + \frac{4}{3} \\[0.75em] &= \frac{{\color{blue} 3} \cdot 3}{{\color{blue} 3} \cdot 2} + \frac{{\color{blue} 2} \cdot 4}{{\color{blue} 2} \cdot 3} \\[0.75em] &= \frac{9}{6} + \frac{8}{6} \\[0.75em] &= \frac{9 + 8}{6} \\[0.75em] &= \frac{17}{6} \end{align*}

Beispiel 3: Addition von drei Brüchen mit verschiedenen Nennern

Im dritten Beispiel werden drei Brüche mit verschiedenen Nennern addiert. Gegeben seien die Brüche

r_1 = \frac{1}{2},\ \ r_2 = \frac{3}{4}\ \text{ und }\ r_3 = \frac{5}{6}.

Da die Nenner verschieden sind, müssen die Brüche zunächst wie im vorausgehenden Beispiel gleichnamig gemacht werden; da die Nenner nicht teilerfremd sind, handelt es sich beim Produkt $2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$ zwar um ein gültiges gemeinsames Vielfaches der Nenner, dieses ist jedoch unnötig groß. Es bietet sich an, stattdessen das kleinste gemeinsame Vielfache $\kgV(2,4,6) = 12$ der einzelnen Nenner zu verwenden. Hierzu muss der Bruch $r_1$ mit $6$, der Bruch $r_2$ mit $3$ und der Bruch $r_3$ mit $2$ erweitert werden. Anschließend kann die gesuchte Summe berechnet werden:

\begin{align*} r_1 + r_2 + r_3 &= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \\[0.75em] &= \frac{{\color{blue} 6} \cdot 1}{{\color{blue} 6} \cdot 2} + \frac{{\color{blue} 3} \cdot 3}{{\color{blue} 3} \cdot 4} + \frac{{\color{blue} 2} \cdot 5}{{\color{blue} 2} \cdot 6} \\[0.75em] &= \frac{6}{12} + \frac{9}{12} + \frac{10}{12} \\[0.75em] &= \frac{6 + 9 + 10}{12} \\[0.75em] &= \frac{25}{12} \end{align*}

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Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von Brüchen ist assoziativ. Für Brüche $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt:

\bigl( r_1 + r_2 \bigr) + r_3 = r_1 + \bigl( r_2 + r_3 \bigr).

Hinweis: Wie bei assoziativen Verknüpfungen üblich, kann für das Addieren von Brüchen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Der Beweis der Assoziativität der Addition von Brüchen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p_1,p_2,p_3,q_1,q_2,q_3 \in \Z$, $q_1 \neq 0$, $q_2 \neq 0$ und $q_3 \neq 0$):

r_1 = \frac{p_1}{q_1},\ \ r_2 = \frac{p_2}{q_2}\ \text{ und }\ r_3 = \frac{p_3}{q_3}.

Für die Summe der Brüche $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt:

\begin{align*} \bigl( r_1 + r_2 \bigr) + r_3 &\overset{(1)}{=} \left( \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} \right) + \frac{p_3}{q_3} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{p_1q_2 + q_1p_2}{q_1q_2} + \frac{p_3}{q_3} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{(p_1q_2 + q_1p_2) \cdot q_3 + q_1q_2p_3}{q_1q_2q_3} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{p_1q_2q_3 + q_1p_2q_3 + q_1q_2p_3}{q_1q_2q_3} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{p_1q_2q_3 + q_1 \cdot (p_2q_3 + q_2p_3)}{q_1q_2q_3} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2q_3 + q_2p_3}{q_2q_3} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{p_1}{q_1} + \left( \frac{p_2}{q_2} + \frac{p_3}{q_3} \right) \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} r_1 + \bigl( r_2 + r_3 \bigr) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Zahlen $r_1$, $r_2$ und $r_3$ durch die entsprechenden Quotienten von ganzen Zahlen
(2)	Ausrechnen von $r_1 + r_2$ gemäß Definition der Addition von Brüchen Erweitern des ersten Bruchs mit $q_2$ Erweitern des zweiten Bruchs mit $q_1$
(3)	Ausrechnen von $(r_1 + r_2) + r_3$ gemäß Definition der Addition von Brüchen Erweitern des ersten Bruchs mit $q_3$ Erweitern des zweiten Bruchs mit $q_1q_2$
(4)	Ausmultiplizieren von $(p_1q_2+q_1p_2) \cdot q_3$ ergibt $p_1q_2q_3 + q_1p_2q_3$ Dies gilt aufgrund der Distributivität der ganzzahligen Multiplikation über der ganzzahligen Addition
(5)	Ausklammern von $q_1$ aus $q_1p_2q_3 + q_1q_2p_3$ ergibt $q_1 \cdot (p_2q_3+q_2p_3)$ Die gilt analog zu (4) aufgrund der Distributivität der ganzzahligen Multiplikation über der ganzzahligen Addition
(6)	Aufteilen der Summe $r_1 + (r_2 + r_3)$ auf zwei separate Summanden $r_1$ und $r_2+r_3$ mithilfe der Definition der Addition von Brüchen
(7)	Aufteilen der Summe $r_2 + r_3$ auf zwei separate Summanden $r_2$ und $r_3$ mithilfe der Definition der Addition von Brüchen
(8)	Ersetzen der Quotienten durch die Zahlen $r_1$, $r_2$ und $r_3$

Kommutativität

Die Addition von Brüchen ist kommutativ. Für Brüche $r_1$ und $r_2$ gilt:

\[ r_1 + r_2 = r_2 + r_1. \]

Der Beweis der Kommutativität der Addition von Brüchen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p_1,p_2,q_1,q_2 \in \Z$, $q_1 \neq 0$ und $q_2 \neq 0$):

r_1 = \frac{p_1}{q_1}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{p_2}{q_2}.

Für die Summe der Brüche $r_1$ und $r_2$ gilt:

\begin{align*} r_1 + r_2 &\overset{(1)}{=} \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{p_1q_2 + q_1p_2}{q_1q_2} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{p_2q_1 + q_2p_1}{q_2q_1} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{p_2}{q_2} + \frac{p_1}{q_1} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} r_2 + r_1 \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Zahlen $r_1$ und $r_2$ durch die entsprechenden Quotienten von ganzen Zahlen
(2)	Ausrechnen von $r_1 + r_2$ gemäß Definition der Addition von Brüchen Erweitern des ersten Bruchs mit $q_2$ Erweitern des zweiten Bruchs mit $q_1$
(3)	Die Gleichheit $p_1q_2 + q_1p_2 = p_2q_1 + q_2p_1$ gilt aufgrund der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation Die Gleichheit $q_1q_2 = q_2q_1$ gilt aufgrund der Kommutativität der ganzzahligen Multiplikation
(4)	Aufteilen der Summe $r_2 + r_1$ auf zwei separate Summanden $r_2$ und $r_1$ mithilfe der Definition der Addition von Brüchen
(5)	Ersetzen der Quotienten durch die Zahlen $r_2$ und $r_1$

Neutrales Element

Die Zahl $0 = \frac{0}{1}$ ist das neutrale Element der Addition von Brüchen; es gilt:

\[ 0 + r = r = r + 0. \]

Der Beweis, dass die Zahl Null das neutrale Element der Addition von Brüchen ist, kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p,q \in \Z$ und $q \neq 0$):

r = \frac{p}{q}\ \text{ und }\ 0 = \frac{0}{1}.

Die Zahl $0$ ist linksneutral bezüglich der Addition, denn es gilt:

\begin{align*} 0 + r &\overset{(1)}{=} \frac{0}{1} + \frac{p}{q} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{0 \cdot q + 1 \cdot p}{1 \cdot q} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{p}{q} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} r \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die Zahl $0$ bezüglich der Addition ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Addition von Brüchen:

\begin{align*} r + 0 &\overset{(1)}{=} \frac{p}{q} + \frac{0}{1} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{p \cdot 1 + q \cdot 0}{q \cdot 1} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{p}{q} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} r \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Zahlen $r$ und $0$ durch die entsprechenden Quotienten von ganzen Zahlen
(2)	Ausrechnen von $0 + r$ bzw. $r + 0$ gemäß Definition der Addition von Brüchen Erweitern des Bruchs $\frac{0}{1}$ mit $q$
(3)	Ausrechnen von $0 \cdot q + 1 \cdot p = p$ bzw. $p \cdot 1 + q \cdot 0 = p$ Ausrechnen von $1 \cdot q = q$ bzw. $q \cdot 1 = q$ Bei $0$ handelt es sich um ein absorbierendes Element der (ganzzahligen) Multiplikation Bei $1$ handelt es sich um das neutrale Element der ganzzahligen Multiplikation Bei $0$ handelt es sich um das neutrale Element der ganzzahligen Addition
(4)	Ersetzen des Quotienten durch die Zahl $r$

Inverses Element

Das inverse Element eines Bruchs $r$ bezüglich der Addition von Brüchen ist der negierte Bruch $-r$. Es gilt:

\bigl( -r \bigr) + r = 0 = r + \bigl( -r \bigr).

Der Beweis, dass der negierte Bruch das inverse Element der Addition von Brüchen ist, kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p,q \in \Z$ und $q \neq 0$):

r = \frac{p}{q}\ \text{ und }\ -r = -\frac{p}{q} = \frac{-p}{q}.

Der Bruch $-r$ ist bezüglich der Addition linksinvers zum Bruch $r$, denn es gilt:

\begin{align*} \bigl( -r \bigr) + r &\overset{(1)}{=} \frac{-p}{q} + \frac{p}{q} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{(-p) + p}{q} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{0}{q} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} 0 \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass der Bruch $-r$ bezüglich der Addition ebenfalls rechtsinvers zum Bruch $r$ ist – und somit das additive inverse Element:

\begin{align*} r + \bigl( -r \bigr) &\overset{(1)}{=} \frac{p}{q} + \frac{-p}{q} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{p + (-p)}{q} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{0}{q} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} 0 \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Zahlen $r$ und $-r$ durch die entsprechenden Quotienten von ganzen Zahlen
(2)	Ausrechnen von $(-r) + r$ bzw. $r + (-r)$ gemäß Definition der Addition von Brüchen
(3)	Die Gleichheit $(-p)+p=0$ bzw. $p+(-p)=0$ gilt, da es sich bei der ganzen Zahl $-p$ um das additive Inverse der ganzen Zahl $p$ handelt – und umgekehrt
(4)	Ersetzen des Quotienten durch die Zahl $0$