Bei der Multiplikation von Brüchen wird das Produkt von zwei oder mehr Brüchen berechnet, indem ihre Zähler sowie ihre Nenner miteinander multipliziert werden. Die Multiplikation von Brüchen ist assoziativ, kommutativ und distributiv. Die Eins ist das neutrale Element der Multiplikation; die Kehrwerte der Brüche sind die multiplikativen inversen Elemente.
Die Brüche können direkt multipliziert werden, indem ihre Zähler sowie ihre Nenner miteinander multipliziert werden. Die Brüche müssen vor der Multiplikation nicht gleichnamig gemacht werden. Für das Produkt von Brüchen ergibt sich somit:
Hinweis: Gemeinsame Faktoren, die sowohl im Zähler des ersten Faktors als auch im Nenner des zweiten Faktors auftreten, sowie Faktoren, die sowohl im Nenner des ersten Faktors als auch im Zähler des zweiten Faktors auftreten, können vor dem Multiplizieren über Kreuz gekürzt werden. Auf diese Weise kann der Rechenaufwand reduziert werden, da die resultierenden Werte so klein wie möglich bleiben. Alternativ kann das resultierende Produkt natürlich auch nach dem Multiplizieren gekürzt werden.
Hinweis: Dies gilt analog für das Produkt von mehreren Brüchen. Die Zähler der Brüche sowie die Nenner der Brüche werden miteinander multipliziert; über Kreuz kürzen ist analog zum Fall von zwei Faktoren möglich.
Beispiele
Beispiel 1: Multiplikation von zwei Brüchen
Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Brüchen berechnet. Gegeben seien die beiden Brüche
Das Produkt der beiden Brüche kann unmittelbar berechnet werden. Der Zähler des Produkts ergibt sich als Produkt der Zähler von $r_1$ und $r_2$. Analog ergibt sich der Nenner des Produkts aus der Multiplikation der beiden Nenner. Es gilt:
Beispiel 2: Multiplikation von zwei kürzbaren Brüchen
Im zweiten Beispiel werden zwei Brüche multipliziert, die bereits während der Berechnung des Produkts vereinfacht werden können. Gegeben seien die beiden Brüche
Bevor die Brüche analog zum ersten Beispiel multipliziert werden, können diese zunächst über Kreuz gekürt werden, da der Zähler des ersten Bruchs und der Nenner des zweiten Bruchs den gemeinsamen Faktor $3$ besitzen. Auf diese Weise kann der zu berechnende Ausdruck bereits vor dem Ausrechnen vereinfacht werden. Für das gesuchte Produkt ergibt sich somit:
Das Produkt der drei Brüche kann berechnet werden, indem die Zähler bzw. die Nenner der Brüche multipliziert werden. Analog zum zweiten Beispiel können die Brüche vor der Multiplikation über Kreuz gekürzt werden, da die Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren besitzen. Auf diese Weise kann der zu berechnende Ausdruck bereits vor dem Ausrechnen vereinfacht werden. Für das Produkt ergibt sich:
Hinweis: Wie bei assoziativen Verknüpfungen üblich, kann für das Multiplizieren von Brüchen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.
Der Beweis der Assoziativität der Multiplikation von Brüchen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p_1,p_2,p_3,q_1,q_2,q_3 \in \Z$, $q_1 \neq 0$, $q_2 \neq 0$ und $q_3 \neq 0$):
Analog gilt die Gleichheit von $(q_1 \cdot q_2) \cdot q_3$ und $q_1 \cdot (q_2 \cdot q_3)$
(5)
Aufteilen des Produkts $r_1 \cdot (r_2 \cdot r_3)$ auf zwei separate Faktoren $r_1$ und $r_2 \cdot r_3$ mithilfe der Definition der Multiplikation von Brüchen
(6)
Aufteilen des Produkts $r_2 \cdot r_3$ auf zwei separate Faktoren $r_2$ und $r_3$ mithilfe der Definition der Multiplikation von Brüchen
(7)
Ersetzen der Quotienten durch die Zahlen $r_1$, $r_2$ und $r_3$
Kommutativität
Die Multiplikation von Brüchen ist kommutativ. Für Brüche $r_1$ und $r_2$ gilt:
\[ r_1 \cdot r_2 = r_2 \cdot r_1. \]
Der Beweis der Kommutativität der Multiplikation von Brüchen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p_1,p_2,q_1,q_2 \in \Z$, $q_1 \neq 0$ und $q_2 \neq 0$):
Der Beweis der Distributivität der Multiplikation von Brüchen über der Addition und Subtraktion kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p_1,p_2,p_3,q_1,q_2,q_3 \in \Z$, $q_1 \neq 0$, $q_2 \neq 0$ und $q_3 \neq 0$):
Aufteilen des Terms auf zwei separate Brüche mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Brüchen
(6)
Kürzen von $q_3$ im vorderen Bruch
Kürzen von $q_2$ im hinteren Bruch
(7)
Aufteilen des Produkts $r_1 \cdot r_2$ auf zwei separate Faktoren $r_1$ und $r_2$ mithilfe der Definition der Multiplikation von Brüchen
Analog: Aufteilen des Produkts $r_1 \cdot r_3$ auf zwei separate Faktoren $r_1$ und $r_3$
(8)
Ersetzen der Quotienten durch die Zahlen $r_1$, $r_2$ und $r_3$
Hinweis: Der Nachweis der Rechtsdistributivität erfolgt analog. Ihre Gültigkeit folgt alternativ auch über die Linksdistributivität und die Kommutativität der Multiplikation.
Neutrales Element
Die Zahl $1 = \frac{1}{1}$ ist das neutrale Element der Multiplikation von Brüchen; es gilt:
\[ 1 \cdot r = r = r \cdot 1. \]
Der Beweis, dass die Zahl Eins das neutrale Element der Multiplikation von Brüchen ist, kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p,q \in \Z$ und $q \neq 0$):
\[ r = \frac{p}{q}\ \text{ und }\ 1 = \frac{1}{1}. \]
Die Zahl $1$ ist linksneutral bezüglich der Multiplikation von Brüchen, denn es gilt:
Analog kann gezeigt werden, dass die Zahl $1$ bezüglich der Multiplikation von Brüchen ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Multiplikation von Brüchen:
Ersetzen der Zahlen $r$ und $1$ durch die entsprechenden Quotienten von ganzen Zahlen
(2)
Ausrechnen von $1 \cdot r$ bzw. $r \cdot 1$ gemäß Definition der Multiplikation von Brüchen
(3)
Die Gleichheit $1 \cdot p = p$ bzw. $p \cdot 1 = p$ gilt, da es sich bei der ganzen Zahl $1$ um das neutrale Element der Multiplikation von ganzen Zahlen handelt
Analog gilt die Gleichheit $1 \cdot q = q$ bzw. $q \cdot 1 = q$
(4)
Ersetzen des Quotienten durch die Zahl $r$
Inverses Element
Das inverse Element eines Bruchs $r$ bezüglich der Multiplikation von Brüchen ist sein Kehrwert $\frac{1}{r}$.
\[ \frac{1}{r} \cdot r = 1 = r \cdot \frac{1}{r}. \]
Der Beweis, dass der Kehrwert das inverse Element der Multiplikation von Brüchen ist, kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p,q \in \Z$, $p \neq 0$ und $q \neq 0$):
\[ r = \frac{p}{q}\ \text{ und }\ \frac{1}{r} = \frac{q}{p}. \]
Der Kehrwert $\frac{1}{r}$ ist bezüglich der Multiplikation von Brüchen linksinvers zum Bruch $r$, denn es gilt:
Analog kann gezeigt werden, dass das Reziproke $\frac{1}{r}$ bezüglich der Multiplikation von Brüchen ebenfalls rechtsinvers zum Bruch $r$ ist – und somit das multiplikative inverse Element:
