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Summenregel (Ableitungsregel)

Die Summenregel ist eine der grundlegenden Regeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass die Summe von differenzierbaren Funktionen selbst differenzierbar ist. Die Summenregel besagt zudem, dass die Ableitung der Summe von Funktionen auf die Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann, indem diese einzeln differenziert und anschließend aufsummiert werden. Die Summenregel gilt ebenfalls für die Differenz von Funktionen.

Definition

Summenregel

Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen oder der komplexen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte Funktionen $u$ und $v$. Die Summenregel besagt, dass die Summe

\[ f(x) = u(x) + v(x) \]

der Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x_0 \in \mathcal{D}$ differenzierbar ist, falls die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar sind. Die Ableitung der Summe an der Stelle $x_0$ kann in diesem Fall auf die Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$ zurückgeführt werden; es gilt:

\begin{align*} f'(x_0) &= {\Bigl[ u(x_0) + v(x_0) \Bigr]}' \\[0.5em] &= u'(x_0) + v'(x_0) \end{align*}

Oder kurz:

\begin{align*} f' &= {\bigl[ u + v \bigr]}' \\[0.5em] &= u' + v' \end{align*}

In Worten: Die Ableitung der Summe entspricht der Summe der Ableitungen.

Hinweis: Dies gilt analog auch für die Differenz von Funktionen.

Summenregel (allgemein)

Die allgemeine Summenregel gilt analog für Summen von mehreren Funktionen. Sind die Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ (für $n \in \N$) an der Stelle $x_0 \in \mathcal{D}$ differenzierbar, so ist auch ihre Summe $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt:

\begin{align*} f'(x_0) &= {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k(x_0)} \right]}' \\[0.5em] &= \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k'(x_0)} \\[0.5em] &= f_1'(x_0) + \ldots + f_n'(x_0) \end{align*}

Hinweis: Dies gilt analog ebenfalls für die Differenz von mehreren Funktionen.

Beispiele

Beispiel 1

Das erste Beispiel demonstriert die Summenregel für eine Summe von zwei Funktionen. Gegeben sei die Funktion

\[ f(x) = x^2 + e^x, \]

bei der es sich um die Summe der Potenzfunktion $x^2$ und der Exponentialfunktion $e^x$ handelt. Da beide Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind, kann die Ableitung der Funktion $f$ mithilfe der Summenregel auf die Summe der Ableitungen der Funktionen $x^2$ und $e^x$ zurückgeführt werden. Hierbei werden die Ableitungsregel der Potenzfunktion sowie die Ableitungsregel der Exponentialfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ x^2 + e^x \Bigr]}' \\[0.5em] &= {\Bigl[ x^2 \Bigr]}' + {\Bigl[ e^x \Bigr]}' \\[0.5em] &= 2x + e^x \end{align*}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel verwendet die Summenregel für eine Summe von drei Funktionen. Gegeben sei die Funktion

g(x) = x^5 - \sin(x) + \ln(x),

bei der es sich um die Summe (bzw. Differenz) der Potenzfunktion $x^5$, der Sinus-Funktion $\sin(x)$ und der Logarithmusfunktion $\ln(x)$ handelt. Da alle drei Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind, kann die Ableitung der Funktion $g$ mithilfe der Summenregel auf die Summe bzw. Differenz der Ableitungen der Funktionen $x^5$, $\sin(x)$ und $\ln(x)$ zurückgeführt werden. Hierbei werden die Ableitungsregel der Potenzfunktion, die Ableitungsregel der Sinus-Funktion sowie die Ableitungsregel der Logarithmusfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ x^5 - \sin(x) + \ln(x) \Bigr]}' \\[0.5em] &= {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' - {\Bigl[ \sin(x) \Bigr]}' + {\Bigl[ \ln(x) \Bigr]}' \\[0.5em] &= 5x^4 - \cos(x) + \frac{1}{x} \end{align*}

Beweis

Beweis der Summenregel

Die Herleitung bzw. der Beweis der Summenregel für die Summe (bzw. die Differenz) von zwei Funktionen erfolgt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Gegeben seien die beiden an der Stelle $x_0$ differenzierbaren Funktionen $u$ und $v$. Bei den Ableitungen $u'(x_0)$ bzw. $v'(x_0)$ handelt es sich nach der Definition der Differenzierbarkeit dann um die folgenden Grenzwerte:

\begin{align*} u'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \right) \\[0.5em] v'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right) \end{align*}

Die Ableitung der Summe bzw. Differenz

f(x) = u(x) \pm v(x)

kann wie folgt über den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt werden:

\begin{align*} f'(x_0) &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\Bigl( u(x_0+h) \pm v(x_0+h) \Bigr) - \Bigl( u(x_0) \pm v(x_0) \Bigr)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{ u(x_0+h) \pm v(x_0+h) - u(x_0) \mp v(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\Bigl( u(x_0+h) - u(x_0) \Bigr) \pm \Bigl( v(x_0+h) - v(x_0) \Bigr)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \right)} \pm \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} u'(x_0) \pm v'(x_0) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition der Ableitung von $f$ als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)	Ersetzen der Funktion $f(x)$ durch die Summe bzw. Differenz $u(x) \pm v(x)$
(3)	Auflösen der Klammern
(4)	Umsortieren der Terme im Zähler mithilfe des Assoziativ- und des Kommutativgesetzes
(5)	Aufteilen des Grenzwerts der Summe (bzw. der Differenz) auf die Summe (bzw. die Differenz) der Grenzwerte
(6)	Ersetzen der Grenzwerte durch die Ableitungen $u'(x_0)$ und $v'(x_0)$ gemäß der initialen Definition

Beweis der Summenregel (allgemein)

Der Beweis der allgemeinen Summenregel für Summen (bzw. Differenzen) von mehreren differenzierbaren Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ (für $n \in \N$ und $n \geq 2$) kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten erbrachte Beweis verwendet, dass die Summenregel für die Summe von zwei Funktionen gültig ist. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Summenregel sei für Summen mit $n$ Funktionen gültig, dann auch die Gültigkeit für Summen mit $n+1$ Funktionen folgt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $n=2$ gültig, wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde.

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Die Summenregel gelte für ein festes $n \in \N$ mit $n \geq 2$.

Für die Summe von $n+1$ Funktionen gilt dann:

\begin{align*} {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n+1}{f_k(x_0)} \right]}' &\overset{(1)}{=} {\left[ \left( \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k(x_0)} \right) + f_{n+1}(x_0) \right]}' \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k(x_0)} \right]}' + f_{n+1}'(x_0) \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k'(x_0)} + f_{n+1}'(x_0) \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n+1}{f_k'(x_0)} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Zurückführen der Summe bis $n+1$ auf die Summe bis $n$ Herausziehen der Funktion $f_{n+1}$ aus dem Summenzeichen
(2)	Anwenden der Summenregel für die Summe von zwei Funktionen
(3)	Ausrechnen der Ableitung $ {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k(x_0)} \right]}'$ mithilfe der Summenregel, da diese gemäß Induktionsannahme für Summen mit $n$ Funktionen gilt
(4)	Hineinziehen der Ableitung $f_{n+1}'(x_0)$ in das Summenzeichen

Insgesamt folgt, dass die Summenregel für Summen mit $n+1$ Funktionen gilt, falls sie für Summen mit $n$ Funktionen gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit der Summenregel für alle Summen von $n \geq 2$ differenzierbaren Funktionen.