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Umkehrregel

Die Umkehrregel (auch Inversenregel genannt) ist eine der grundlegenden Regeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass die Umkehrfunktion einer differenzierbaren Funktion selbst differenzierbar ist. Die Umkehrregel beschreibt darüber hinaus, wie die Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion auf die Ableitung der Funktion selbst zurückgeführt werden kann.

Definition

Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen oder der komplexen Zahlen sowie eine auf diesem Intervall definierte, umkehrbare (d. h. bijektive) Funktion $f$.

Die Umkehrregel (auch Inversenregel genannt) besagt, dass die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an der Stelle $y_0 = f(x_0)$ differenzierbar ist, falls die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar ist und falls darüber hinaus $f(x_0) \neq 0$ gilt. Unter diesen Voraussetzungen kann die Ableitung der Funktion $f^{-1}$ auf die Ableitung der Funktion $f$ zurückgeführt werden; es gilt:

\begin{align*} \Bigl[ f^{-1}(y_0) \Bigr]' &= \frac{1}{f'\Bigl(f^{-1}(y_0)\Bigr)} \\[0.5em] &= \frac{1}{f'(x_0)} \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Das erste Beispiel verwendet die Umkehrregel zum Ableiten der Logarithmusfunktion

f(x) = \ln(x),

bei der es sich um den Kehrwert der Exponentialfunktion $e^x$ handelt. Da die Exponentialfunktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, kann die Ableitung der Funktion $f$ mithilfe der Umkehrregel auf die Ableitung der Funktion $e^x$ zurückgeführt werden. Hierbei wird die Ableitungsregel der Exponentialfunktion benötigt.

Es sei $\ln(y_0)=x_0$ und folglich $y_0 = e^{x_0}$. Dann gilt:

\begin{align*} f'(y_0) &= {\Bigl[ \ln(y_0) \Bigr]}' \\[0.5em] &= \frac{1}{{\bigl[ e^{x_0} \bigr]}'} \\[0.5em] &= \frac{1}{e^{x_0}} \\[0.5em] &= \frac{1}{y_0} \end{align*}

Hieraus folgt die Ableitung der Logarithmusfunktion:

{\Bigl[ \ln(y) \Bigr]}' = \frac{1}{y}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel demonstriert die Umkehrregel für die Ableitung der Arkussinus-Funktion

g(y) = \arcsin(y),

bei der es sich um die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion $\sin(x)$ handelt. Da die Sinus-Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, kann die Ableitung der Funktion $g$ mithilfe der Umkehrregel auf die Ableitung der Funktion $\sin(x)$ zurückgeführt werden. Hierbei wird die Ableitungsregel der Sinus-Funktion benötigt. (Hinweis: Da die Sinus-Funktion periodisch und somit nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $-\frac{\pi}{2} \leq x_0 \leq \frac{\pi}{2}$ eingeschränkt.)

Es sei $\arcsin(y_0)=x_0$ und folglich $y_0 = \sin(x_0)$. Dann gilt:

\begin{align*} {\Bigl[ g^{-1}(y_0) \Bigr]}' &= {\Bigl[ \arcsin(y_0) \Bigr]}' \\[0.5em] &= \frac{1}{{\bigl[ \sin(x_0) \bigr]}'} \\[0.5em] &= \frac{1}{\cos(x_0)} \\[0.5em] &= \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(x_0)}} \\[0.5em] &= \frac{1}{\sqrt{1 - y_0^2}} \end{align*}

Hieraus folgt die Ableitung der Arkussinus-Funktion:

{\Bigl[ \arcsin(y) \Bigr]}' = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}

Beweis der Umkehrregel

Die Herleitung bzw. der Beweis der Umkehrregel erfolgt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Gegeben sei die an der Stelle $x_0$ differenzierbare und umkehrbare Funktion $f$. Bei der Ableitung $f'(x_0)$ handelt es sich nach der Definition der Differenzierbarkeit dann um den folgenden Grenzwert:

f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)

Es gelte $f(x_0)=y_0$ und folglich $f^{-1}(y_0)=x_0$. Die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ kann wie folgt über den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt werden:

\begin{align*} \bigl(f^{-1}\bigr)'(y_0) &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)}{(y_0+h)-y_0} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{\dfrac{(y_0+h)-y_0}{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)}} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \dfrac{(y_0+h)-y_0}{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)} \right)}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \dfrac{f \bigl( f^{-1}(y_0+h) \bigr) - f \bigl( f^{-1}(y_0) \bigr)}{f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)} \right)}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{\lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \dfrac{f \bigl( f^{-1}(y_0)+t \bigr) - f \bigl( f^{-1}(y_0) \bigr)}{t} \right)}} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{\lim\limits_{t \rightarrow 0}{\left( \dfrac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t} \right)}} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{f'(x_0)} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition der Ableitung von $f^{-1}$ als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)	Addition von $y_0-y_0$ im Nenner Der addierte Term ergibt insgesamt 0, sodass der Wert des Nenners nicht verändert wird
(3)	Umschreiben des Terms als Kehrwert des Kehrwerts
(4)	Hineinziehen des Limes in den Nenner
(5)	Umschreiben von $y_0+h$ zu $f\bigl( f^{-1}(y_0+h) \bigr)$ Umschreiben von $y_0$ zu $f\bigl( f^{-1}(y_0) \bigr)$ Das Umschreiben ist möglich, da $f$ und $f^{-1}$ Umkehrfunktionen zueinander sind
(6)	Substitution durch die Variable $t$ mit $t = f^{-1}(y_0+h) - f^{-1}(y_0)$ Umstellen nach $f^{-1}(y_0+h)$ ergibt: $f^{-1}(y_0+h) = f^{-1}(y_0) + t$ Aufgrund der Stetigkeit von $f^{-1}$ an der Stelle $y_0$ gilt $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\bigl( f^{-1}(y_0+h) \bigr)} = f^{-1}(y_0),$ woraus ausgehend von der vorherigen Gleichung implizit $t \rightarrow 0$ folgt.
(7)	Ersetzen von $f^{-1}(y_0)$ durch $x_0$ gemäß der initialen Definition
(8)	Ersetzen des Grenzwerts durch die Ableitung $f'(x_0)$ gemäß der initialen Definition