Die transponierte Matrix (auch gespiegelte Matrix oder gestürzte Matrix) ist diejenige Matrix, die durch das Vertauschen der Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix entsteht. Die erste Zeile der Ausgangsmatrix entspricht der ersten Spalte der transponierten Matrix, die zweite Zeile der Ausgangsmatrix entspricht analog der zweiten Spalte der transponierten Matrix, usw. Bildlich entsteht die transponierte Matrix, indem die Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonalen gespiegelt wird. Das Überführen in die transponierte Matrix wird Transponierung, Transposition oder Stürzen der Matrix genannt.
Die Transpositionsabbildung ordnet einer Matrix ihre transponierte Matrix zu und ist bijektiv, linear und selbstinvers. Viele Eigenschaften einer Matrix – darunter Rang, Spur, Determinante und Eigenwerte – werden durch das Transponieren nicht verändert.
Die transponierte Matrix \(A^T\) ergibt sich aus der Matrix \(A\) folglich dadurch, dass die Zeilen und Spalten von \(A\) vertauscht werden bzw. dadurch, dass die Matrix \(A\) an ihrer Hauptdiagonalen gespiegelt wird.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die folgende Matrix $A \in \Z^{3 \times 3}$:
Es gilt \(\alpha_{ij} = a_{ji}\) und \(\beta_{ij} = b_{ji}\)
(4)
Aufteilen der Matrix \({(A-B)}^T\) auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Subtraktion von Matrizen
(5)
Ersetzen der konkreten Matrizen durch \(A^T\) und \(B^T\)
Multiplikation
Für die transponierte Matrix des Produkts von Matrizen \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) und \(B \in \mathcal{R}^{n \times p}\) über einem kommutativen Ring \(\mathcal{R}\) gilt:
\[ {\bigl( A \cdot B \bigr)}^T = B^T \cdot A^T. \]
Die Eigenschaft kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden.
\begin{align*} {\bigl( A \cdot B \bigr)}^T &\overset{(1)}{=} {\left( {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \cdot {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq p}} \right)}^T \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik} \cdot b_{kj}} \right]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq p}}^T \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{a_{jk} \cdot b_{ki}} \right]}_{\substack{1 \leq i \leq p \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{\beta_{ik} \cdot \alpha_{kj}} \right]}_{\substack{1 \leq i \leq p \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} {\Bigl[ \beta_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq p \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \cdot {\Bigl[ \alpha_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} B^T \cdot A^T \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
Ersetzen von \(A\) und \(B\) durch die konkreten Matrizen
Ersetzen von \(a_{jk}\) durch \(\alpha_{kj}\) – es handelt sich bei \(\alpha_{kj}\) um das zu \(a_{jk}\) gehörige Element in der transponierten Matrix \(A^T\)
Ersetzen von \(b_{ki}\) durch \(\beta_{ik}\) – es handelt sich bei \(\beta_{ik}\) um das zu \(b_{ki}\) gehörige Element in der transponierten Matrix \(B^T\)
Die Vertauschung der Multiplikationsreihenfolge gilt aufgrund der Kommutativität der Multiplikation im zugrundeliegenden kommutativen Ring \(\mathcal{R}\)
(5)
Aufteilen der Matrix auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Multiplikation von Matrizen
(6)
Ersetzen der konkreten Matrizen durch \(A^T\) und \(B^T\)
Für die transponierte Matrix des Produkts von Matrizen \(A_1,\ldots,A_n\) gilt analog:
Für eine reguläre (invertierbare) Matrix ist auch die transponierte Matrix regulär und es gilt: Die Transponierte der inversen Matrix entspricht der Inversen der transponierten Matrix.
Für quadratische Matrizen gilt, dass die Determinante der transponierten Matrix $A^T$ stets der Determinante der Matrix $A$ entspricht.
\[ \det\bigl(A^T\bigr) = \det\bigl(A\bigr) \]
Das Transponieren einer Matrix verändert die Determinate nicht.
Spur
Für quadratische Matrizen gilt, dass die Spur der transponierten Matrix $A^T$ stets der Spur der Matrix $A$ entspricht.
\[ \spur\bigl(A^T\bigr) = \spur\bigl(A\bigr) \]
Das Transponieren einer Matrix verändert die Spur nicht.
Zeilen- und Spaltenraum
Für den Zeilen- und Spaltenraum der transponierten Matrix $A^T$ gelten die folgenden Eigenschaften:
Der Zeilenraum der Transponierten $A^T$ entspricht dem Spaltenraum der Ausgangsmatrix $A$.
\[ Z\bigl(A^T\bigr) = S\bigl(A\bigr) \]
Der Spaltenraum der Transponierten $A^T$ entspricht dem Zeilenraum der Ausgangsmatrix $A$.
\[ S\bigl(A^T\bigr) = Z\bigl(A\bigr) \]
Rang
Der Rang der transponierten Matrix $A^T$ entspricht dem Rang der Matrix $A$.
\[ \rg\bigl(A^T\bigr) = \rg\bigl(A\bigr) \]
Ähnlichkeit
Eine quadratische Matrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ ist stets ähnlich zu ihrer Transponierten, d. h., es gibt stets eine reguläre Matrix $S \in \mathcal{R}^{n \times n}$ mit
\[ A^T = S^{-1} A S. \]
Eigenwerte und Eigenvektoren
Da die Determinante der transponierten Matrix stets der Determinante der Ausgangsmatrix entspricht, ist auch das charakteristische Polynom stets identisch.
\[ \chi_A(\lambda) = \chi_{A^T}(\lambda) \]
Hieraus folgt unmittelbar, dass auch die Eigenwerte einer Matrix und ihrer transponierten Matrix übereinstimmen.
Hinweis: Dies gilt nicht notwendigerweise für die Eigenvektoren und die Eigenräume.
Transpositionsabbildung
Bei der Transpositionsabbildung handelt es sich um die Abbildung
Bei der Transpositionsabbildung zwischen den Matrizenräumen $\mathcal{R}^{m \times n}$ und $\mathcal{R}^{n \times m}$ handelt es sich um einen Isomorphismus.
Bei der Transpositionsabbildung handelt es sich in der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname{GL}(n,\mathcal{R})$ und im Matrizenring $\mathcal{R}^{n \times n}$ um einen Antiautomorphismus.
