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Inverse Matrix

Die inverse Matrix (oder auch Inverse) einer quadratischen Matrix ist ebenfalls eine quadratische Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine inverse Matrix. Die Menge der invertierbaren Matrizen werden reguläre oder nichtsinguläre Matrizen genannt.

Inhalt

Definition
Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix
Beispiele
Eigenschaften

Definition

Gegeben sei eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ über einem Ring, einem Körper oder einem Schiefkörper $\mathcal{R}$. Die Matrix $A^{-1} \in \mathcal{R}^{n \times n}$ wird inverse Matrix von $A$ genannt, wenn

A^{-1} \cdot A = E_n = A \cdot A^{-1}

gilt. Hierbei ist $\cdot$ die Matrizenmultiplikation und $E_n$ bezeichnet die $n \times n$ Einheitsmatrix über $\mathcal{R}$.

Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix

Verfahren

Die inverse Matrix kann mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden. Hierzu wird die zu invertierende $n \times n$ Matrix $A$ mithilfe elementarer Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix überführt und dieselben Umformungen parallel auf einer $n \times n$ Einheitsmatrix durchgeführt:

Für den Fall, dass die Matrix $A$ invertierbar ist, entsteht aus der Einheitsmatrix auf die Weise die inverse Matrix $A^{-1}$: $\begin{array}{c} A = \left\{\left[\begin{array}{ccc|ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} & 1 & \ldots & 0 \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & \ldots & a_{nn} & 0 & \ldots & 1 \end{array}\right]\right\} = E_n \\[1em] \downarrow \\[1em] E_n = \left\{\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \ldots & 0 & * & \ldots & * \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0 & \ldots & 1 & * & \ldots & * \end{array}\right]\right\} = A^{-1}. \end{array}$
Für den Fall, dass die Matrix $A$ nicht invertierbar ist, ist es nicht möglich, die Matrix $A$ in eine Einheitsmatrix zu überführen und die inverse Matrix $A^{-1}$ existiert nicht.

Korrektheit

Jede elementare Zeilenumformung kann durch eine linksseitige Multiplikation mit einer Elementarmatrix dargestellt werden. Die während des Gauß-Jordan-Algorithmus durchgeführten elementaren Zeilenumformungen seien mit $T_1, T_2, \ldots, T_k$ bezeichnet und es gilt

E_n = T_k \cdot \ldots \cdot T_2 \cdot T_1 \cdot A.

Werden beide Seiten dieser Gleichung von rechts mit der inversen Matrix $A^{-1}$ multipliziert, so folgt:

\begin{align*} E_n \cdot A^{-1} &= T_k \cdot \ldots \cdot T_2 \cdot T_1 \cdot \underbrace{A \cdot A^{-1}}_{=E_n} \\[0.5em] A^{-1} &= T_k \cdot \ldots \cdot T_2 \cdot T_1 \cdot E_n. \end{align*}

Die inverse Matrix $A^{-1}$ ergibt sich also wie behauptet, indem die elementaren Zeilenumformungen $T_1,T_2,\ldots,T_k$, die die Matrix $A$ in die Einheitsmatrix $E_n$ überführen, auf die Einheitsmatrix $E_n$ selbst anwendet werden.

Beispiele

Gegeben sei die folgende Matrix $A \in \R^{3 \times 3}$:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\[0.25em] 3 & 4 & 1 \\[0.25em] 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}.

Erweitern der Matrix $A$ mit der Einheitsmatrix $E_3$ und Anwenden des Gauß-Jordan-Algorithmus liefert:

\begin{array}{rrr|rrr|l} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em] 3 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & \text{II} - 3 \cdot \text{I} \\[0.25em] 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \\[0.25em] \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em] 0 & 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & \\[0.25em] 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em] \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em] 0 & 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & \text{II} - \text{III} \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 1 & \\[0.25em] \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \text{I} - \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 1 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \\[0.25em] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 1 & \end{array}

Da die Matrix $A$ in die Einheitsmatrix überführt werden konnte, existiert die inverse Matrix $A^{-1}$ und es gilt:

A^{-1} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\[0.25em] 0 & 0 & -1 \\[0.25em] -3 & 1 & 1 \end{bmatrix}.

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Eigenschaften

Gruppeneigenschaften

Die Menge der invertierbaren $n \times n$ Matrizen über einem Körper $\mathcal{K}$ bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname{GL}(n,\mathcal{K})$. Die $n \times n$ Einheitsmatrix ist das neutrale Element; die inversen Matrizen sind die inversen Elemente. Die inverse Matrix ist eindeutig definiert und sowohl links- als auch rechtsinvers.

Die Einheitsmatrix ist selbstinvers und die Inverse der inverse Matrix ist die Ausgangsmatrix selbst:

\begin{align*} E_n^{-1} &= E_n \\[0.5em] {\left( A^{-1} \right)}^{-1} &= A. \end{align*}

Aufgrund der Gruppeneigenschaften ist das Produkt $A \cdot B$ zweier invertierbarer Matrizen $A$ und $B$ ebenfalls eine invertierbare Matrix und es gilt:

{\left( A \cdot B \right)}^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}.

Allgemein gilt für die inverse Matrix des Produkts mehrerer Matrizen:

{\left( A_1 \cdot A_2 \cdot \ldots \cdot A_k \right)}^{-1} = A_k^{-1} \cdot \ldots \cdot A_2^{-1} \cdot A_1^{-1}.

Weitere Eigenschaften

Für die inverse Matrix des Produkts einer Matrix $A \in \mathcal{K}^{n \times n}$ mit einem Skalar $\lambda \in \mathcal{K}$ gilt: ${\left( \lambda \cdot A \right)}^{-1} = \lambda^{-1} \cdot A^{-1}.$
Die inverse Matrix der Transponierten entspricht der transponierten Matrix der Inversen: ${\left( A^T \right)}^{-1} = {\left( A^{-1} \right)}^T.$
Die Inverse der adjungierten komplexen Matrix entspricht der Adjungierten der Inversen: ${\left( A^H \right)}^{-1} = {\left( A^{-1} \right)}^H.$
Der Rang der Matrix entspricht dem Rang der inversen Matrix: $\rg(A) = \rg(A^{-1}) = n.$
Handelt es sich bei $\lambda$ um einen Eigenwert der Matrix $A$ zum Eigenvektor $v$, so ist $\lambda^{-1}$ ein Eigenwert der inversen Matrix $A^{-1}$ zum selben Eigenvektor $v$.