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Potenzgesetz II-a: Multiplikation von Potenzen mit demselben Exponenten

Bei Potenzgesetz II-a handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie das Produkt von Potenzen mit demselben Exponenten berechnet werden kann.

Definition

Das Produkt von zwei Potenzen \(a^n\) und \(b^n\) mit demselben Exponenten \(n\) kann berechnet werden, indem die Basen \(a\) und \(b\) multipliziert werden und der Exponent $n$ beibehalten wird. Es gilt:

\[ a^n \cdot b^n = {\bigl( a \cdot b \bigr)}^n. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für beliebige natürliche Exponenten $n \in \N$;
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$, falls $a \neq 0$ und $b \neq 0$ gilt;
  • für beliebige reelle Exponenten $n \in \R$, falls $a \gt 0$ und $b \gt 0$ gilt;
  • für beliebige rationale Exponenten $n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Aussagen $a \lt 0$ oder $b \lt 0$ gilt.

Allgemein: Das Produkt von mehreren Potenzen mit demselben Exponenten \(n\) kann analog berechnet werden, indem die Basen multipliziert werden und der Exponent beibehalten wird. Es gilt:

\begin{align*} \prod\limits_{i=1}^{k}{a_i^n} &= a_1^n \cdot \ldots \cdot a_k^n \\[0.5em] &= {\left( a_1 \cdot \ldots \cdot a_k \right)}^n. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Potenzen mit demselben natürlichen Exponenten berechnet.

\[ a^3 \cdot b^3 = {\left( a \cdot b \right)}^3 \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von vier Potenzen mit demselben rationalen Exponenten berechnet.

\[ a^\frac{1}{2} \cdot b^\frac{1}{2} \cdot c^\frac{1}{2} \cdot d^\frac{1}{2} = {\left( a \cdot b \cdot c \cdot d \right)}^\frac{1}{2} \]

Beweis

Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt.

Natürliche Exponenten

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $a^n$ und $b^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $n$ mal den Faktor $a$ bzw. $b$ besitzen. Dann gilt:

\begin{align*} a^n \cdot b^n &\overset{(1)}{=} \underbrace{\bigl( a \cdot \ldots \cdot a \bigr)}_{n \text{ Faktoren}} \cdot \underbrace{\bigl( b \cdot \ldots \cdot b \bigr)}_{n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \underbrace{\bigl( a \cdot b \bigr) \cdot \ldots \cdot \bigl( a \cdot b \bigr)}_{n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl( a \cdot b \bigr)}^n \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
  • Ersetzen des Produkts aus \(n\) Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Ganze Exponenten

Für die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

  • $\underline{\text{Fall 1:}\ n \gt 0}$

    Dieser Fall entspricht dem Produkt zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

  • $\underline{\text{Fall 2:}\ n \lt 0}$

    Gegeben seien eine ganze Zahl $n \in \Z$ mit $n \lt 0$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. Wegen $n \lt 0$ gilt \(|n|=-n\) bzw. \(n = -|n|\), wobei es sich bei \(|n|\) um den Betrag von \(n\) handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} a^n \cdot b^n &\overset{(1)}{=} a^{-|n|} \cdot b^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{a^{|n|}} \cdot \frac{1}{b^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{a^{|n|} \cdot b^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{{(a \cdot b)}^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {\bigl(a \cdot b \bigr)}^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\bigl(a \cdot b \bigr)}^n \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(n\) durch den negierten Betrag von \(n\)
    (2)
    (3)
    • Zusammenfassen zu einem Quotienten
    (4)
    • Anwenden von Potenzgesetz II-a für natürliche Exponenten
    (5)
    • Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
    (6)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)

Rationale Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei ganze Zahlen \(n,r \in \Z\) sowie zwei reelle Zahlen \(a,b \in \R\). Dann gilt:

\begin{align*} a^{\frac{r}{n}} \cdot b^{\frac{r}{n}} &\overset{(1)}{=} \sqrt[n]{{\left( a^{\frac{r}{n}} \right)}^{n}} \cdot \sqrt[n]{{\left( b^{\frac{r}{n}} \right)}^{n}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sqrt[n]{a^{\frac{r}{n} \cdot n}} \cdot \sqrt[n]{b^{\frac{r}{n} \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sqrt[n]{a^r} \cdot \sqrt[n]{b^r} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{a^r \cdot b^r} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sqrt[n]{{\bigl(a \cdot b \bigr)}^r} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\bigl(a \cdot b \bigr)}^{\frac{r}{n}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt; es gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\)
(2)
(3)
  • Kürzen liefert \(\frac{r}{n} \cdot n = r\)
(4)
(5)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-a für ganzzahlige Exponenten
(6)
  • Umschreiben der Wurzel als Potenz; es gilt \(\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}\)

Reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl \(x \in \R\), eine Folge \({(x_n)}_{n \in \N}\) rationaler Zahlen mit \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\), die gegen \(x\) konvergiert, sowie zwei reelle Zahlen \(a,b \in \R\). Dann gilt:

\begin{align*} a^x \cdot b^x &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \right)} \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( b^{x_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \cdot b^{x_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{{(a \cdot b)}^{x_n}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {(a \cdot b)}^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {(a \cdot b)}^x \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-a für rationale Exponenten
(4)
(5)
  • Einsetzen von \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\)